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离散傅里叶级数 - 时间索引

信息处理离散信号傅里叶变换自由度傅里叶级数

2022-02-21 20:40:50

我一直在尝试理解离散傅立叶时间序列（非变换）。

它被定义为

a_{k} = \sum_{n = 0}^{N - 1} x [n] e^{j k \frac{2 π}{N} n}

$a_k = \sum_{n=0}^{N-1} x[n]e^{jk\frac{2\pi}{N}n}$

其中 N 是时间段和一个整数（根据定义），并且从开始。 $n$ $0 ... N-1$

很公平。但是当 N = 0.2 秒作为波的时间周期时，那么我们如何定义，因为是负数。我认为这里我们应该将设为 200 毫秒。然后从 0 ... 199循环 $n$ $N-1$ $N$ $n$

但是，术语（样本）可以在 200 毫秒或纳秒内定义，依此类推。所以对于 200 毫秒的情况，我们需要 200 个样本。但是假设我在 200 毫秒的时间段内平均分配了 100 个样本。现在我们如何定义在这种情况下，我应该这样做：也就是说，将替代值设置为零? $x[n]$ $2*10^8$ $x[n]$ $x[0]=1, x[1]=0, x[2]=1,...$

因为在上面的等式中，我需要 200 个值。 $x$

或者更好（我认为）：

定义，其中是假设的新时间单位，在这种情况下，时间段为（条件是最终值为整数）。在这种情况下，我们可以轻松地循环超过 100 个样本，而不必担心设置替代值。 $1 sec = 500ss$ $ss$ $N=0.2*500ss=100ss$

任何人都可以帮助我解决这个问题或我上面的想法。

最好的祝福，

3个回答

$N = 0.2$ 第二个在这里不正确。正整数 $N$ 没有单位。它只是计算 DFT 时要考虑的离散样本的数量。一旦你有一个离散信号，采样周期 $\tau$ ，您可以定义持续时间的时间范围 $T$ （带有单位，以秒为单位），您将在其上评估 DFT。为了保持一致，你应该有一个整数倍 $\tau$ 采样周期 $T$ .

然后，考虑到第一个和最后一个样本，如果你有 $N$ 点对齐，它们定义 $N-1$ 间隔。因此， $N-1=\frac{T}{\tau}$ ，或者 $N=\frac{T}{\tau}+1$ . 从那，你真的看到了 $N$ 是无单位的（秒除以秒）。坚持使用通用单位很重要 $\tau$ 和 $T$ . 如果你已经知道你想要的样本数量，知道 $\tau$ , 你可以定义 $T$ 拥有 $(N-1)\tau$ .

但从现在开始，您可以重新索引 $x$ 带有整数索引。在您定期采样之前 $\ldots,x(k\tau),\,x(k+1\tau),\ldots,x(m\tau),\ldots$ 关于一些绝对时间。

现在，您几乎忘记了实际的采样率，也就是您的时间框架的开始。所以你有两个主要的约定：

要么索引第一个样本 $0$ ： $x[0],\,[1],\ldots,[N-1]$ ,
或索引第一个样本 $1$ ： $x[1],\,[2],\ldots,[N]$ .

如果您现在将采样信号提供给其他人，他将一无所知 $\tau$ 和 $T$ ，并将使用假设的新“整数”抽样单位 $1$ （事实上，比率 $\tau/\tau$ ）。

整数 $N$ 是样本的数量 $x[n]$ 在一个时期内。不需要与绝对时间有任何关系，仅仅是因为 $x[n]$ 只是离散数据，不一定是时间函数的样本。

但是，如果数据 $x[n]$ 是一些连续时间信号的样本，那么两个相邻样本之间的时间差，根据定义，就是采样间隔 $T_s$ ，这是采样频率的倒数 $f_s=1/T_s$ .

在这种情况下，对应于一个时期的时间 $x[n]$ ，即两个样本之间的时间差 $x[n]$ 和 $x[n+N]$ ，等于 $N\cdot T_s=N/f_s$ .

首先，您说 N 是一个整数，然后询问 N=0.2 的情况。如果 N 是一个整数（确实如此），您应该问自己如何将一个非整数值 (0.2) 断言为一个整数？

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