让我们看看 8 点 DFT 中的 bin 频率：

$$\begin{array}{c} \omega_A = 0,\\ \omega_B = \pi/4,\\ \omega_C = \pi/2,\\ \omega_D = 3\pi/4,\\ \omega_E = \pi = -\pi\ ({\tt mod}\ 2\pi),\\ \omega_F = 5\pi/4 = -3\pi/4\ ({\tt mod}\ 2\pi),\\ \omega_G = 3\pi/2 = -\pi/2\ ({\tt mod}\ 2\pi), \\ \omega_H = 7\pi/4 = -\pi/4\ ({\tt mod}\ 2\pi) \end{array}$$ 因此，当您插值 2 倍时，点的频率变为或。$E$$-\pi$$+ \pi$

乍一看，我看不出你的方法有什么问题，因为不清楚是否应该放入与或关联的 bin 中。$E$$\pi$$-\pi$

在Julius O. Smith III 的页面上，他陈述了一个条件：

此外， 当 ，而奇数则不需要这样的限制。$x(N/2) = x(-N/2) = 0$$N$

他的例子是一个奇数，它避免了这个问题。$N$

---

不确定是否需要，但这里是 Julius 工作的完整参考：

Smith，JO 音频应用的离散傅里叶变换 (DFT) 数学，第二版， http://ccrma.stanford.edu/~jos/mdft/，2007年，在线图书，2011 年 9 月 28 日访问。

有很多方法可以插入数据。在我看来，插值意味着你在一些数据点之间“画”线。这可以通过多种方式完成。在 DSP（尤其是多速率 DSP）中有用的一种插值是“带限插值”。如果你用谷歌搜索你会得到很多有趣和有用的点击。您建议的不是带限插值。在您的“上采样”x 中，您有原始 x 中不存在的频率分量。

编辑（太长，无法放入评论）：

开始，您的构造与您提供的参考中的示例之间存在相当大的差异。$X=[A,B,C,D,E,F,G,H]$

考虑实际输入

$X=[A,B,C,D,E,D^*,C^*,B^*]$

对全频带输入进行 2 倍上采样。在这种情况下，可以通过首先在交错的输入中放置零来执行上采样（即结果是一个信号的频谱包含 x 的频谱的压缩版本（在范围内）和从延伸的图像（仅考虑正频率轴）。如果 x2 是上采样版本，则$x_0,0,x_1,0,...$$0-\pi/2$$\pi/2 - \pi$

$X2=[A,B,C,D,E,D^*,C^*,B^*,A,B,C,D,E,D^*,C^*,B^*]$

在理想情况下，为了去除图像，需要的理想砖墙滤波器。那是（对于无限输入）$\pi/2$

$y_n = \sum_{k=-\infty}^{\infty} x2_k sinc(0.5n - k)$

在实践中，虽然会有一些失真，因为砖墙过滤器是不现实的。实用的滤波器可以抑制/去除输入中的频率，也可以将图像中的某些频率分量留在上采样信号中。或者过滤器可以在两者之间做出妥协。我认为您的频域构造也反映了这种妥协。这两个例子，代表了两种不同的选择：

$Y=[A,B,C,D,E,0,0,0,0,0,0,0,E^*,D^*,C^*,B^*]$

$Y=[A,B,C,D,0,0,0,0,0,0,0,0,0,D^*,C^*,B^*]$

如果输入的带宽限制在您参考中的奈奎斯特频率以下，则此问题将消失。

也许可以在下面找到的值，这样一些误差函数，例如输入频谱和上采样输出频谱之间的平方误差是最小的。$\rho$

$Y=[A,B,C,D,\rho,0,0,0,0,0,0,0,\rho^*,D^*,C^*,B^*]$