信息处理 - DFT 中的求和限制 - 吾爱随笔录

DFT 中的求和限制

信息处理离散信号傅里叶变换自由度

2022-02-25 00:00:03

假设给出了一个离散时间信号 $(x_n)$ 。一些文本将 DFT 定义为

X [k] = \sum_{n = - N}^{N} x_{n} \exp (\frac{- 2 π j k n}{N})

$X[k] = \sum_{n=-N}^N x_n\exp\left(\frac{-2\pi j k n}{N}\right)$ 而另一些将其定义为

X [k] = \sum_{n = 0}^{N - 1} x_{n} \exp (\frac{- 2 π j k n}{N})

$X[k] = \sum_{n=0}^{N-1} x_n\exp\left(\frac{-2\pi j k n}{N}\right)$ 或

X [k] = \sum_{n = 1}^{N} x_{n} \exp (\frac{- 2 π j k n}{N})

$X[k] = \sum_{n=1}^N x_n\exp\left(\frac{-2\pi j k n}{N}\right)$ 或许多其他具有不同索引的看似随机的变体。那么 DFT 的真正指数限制是多少？还是没有唯一的共识，任何随机作者都可以引入一个新的？

3个回答

对于标准 $N$ 长度信号，第二个表达式对我来说是最常见的。 $x[n]$ 序列是周期性的，则第三个可能等价，因为傅立叶核 $\exp\left(\frac{-2\pi j k n}{N}\right)$ $n=0$ 具有相同的值（即 1）和 $n=N$ 。

长度为 $2N+1$ 的第一个对我来说似乎很奇怪，在这两种意义上。然而，如果信号在所考虑的支持（求和的限制）之外被认为是无效的，则输出的幅度或能量可以提供声音幅度谱（因为可以取消潜在的相位项）。

我怀疑您发现的公式的多样性（第二个和第三个）与计算机软件中可以找到的不同索引有关：从零开始的编号（在 C、Python 中）或从一开始的索引（Fortran、Matlab） .

我相信编号应该从零开始（请参阅“为什么编号应该从零开始 (EWD 831) ”，Dijkstra，Edsger Wybe）。

如果是 DFT 长度，则总和总是超过个点。所以在这个假设下，第一个公式没有任何意义。请注意，术语在和中是周期的，因此在一个周期内求和总是给出相同的值，而不管起始索引如何。附加假设周期性地继续，即的任何间隔上计算给定的总和。强调这一事实的符号是 $N$ $N$ $e^{-j2\pi nk/N}$ $N$ $k$ $n$ $x[n]$ $x[n]=x[n+N]$ $N$

\begin{matrix} (1) & X [k] = \sum_{< N >} x [n] e^{- j 2 π n k / N} \end{matrix}

$X[k]=\sum_{<N>}x[n]e^{-j2\pi nk/N}\tag{1}$

作为电气和电子工程课程的一部分，我从未在数字信号处理的背景下看到 DFT 的第一个和第三个定义。

几乎所有文本都将序列（长度）的 DFT 定义为 $N$

\begin{matrix} (1) & X [k] = \sum_{n = 0}^{N - 1} x [n] e^{- j \frac{2 π}{N} n k}, k = 0, 1, . . ., N - 1 \end{matrix}

$X[k] = \sum_{n=0}^{N-1} x[n] e^{-j \frac{2\pi}{N} n k } ~~~,~~~k = 0,1,...,N-1 \tag{1}$

一些作者更喜欢将诸如或的比例（权重）用于前向或后向变换，但这是为了方便。 $\frac{1}{N}$ $\frac{1}{\sqrt{N}}$

重要的是要记住不要将不同的定义混入同一个方程。

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