信息处理 - 虚函数的幅度和相位谱如何？ - 吾爱随笔录

虚函数的幅度和相位谱如何？

信息处理傅里叶变换阶段自习震级

2022-02-11 00:55:27

说我有这个功能

x (t) = j rect (t)

$x(t)=j \operatorname{rect}(t)$

相位谱是偶数还是奇数？

我很困惑相位谱是否是奇/偶函数 $\omega$ （角频率，傅里叶变换变量）。

3个回答

这是一个家庭作业类型的问题，所以这个答案只会提供一个提示。让

\begin{matrix} (1) & x (t) = j x_{R} (t) \end{matrix}

$x(t)=jx_R(t)\tag{1}$

在哪里 $x_R(t)$ 是一个实值函数。最后， $x(t)$ 纯属虚构。从傅里叶变换的性质可以得出，傅里叶变换 $x(t)$ 简直就是

\begin{matrix} (2) & X (f) = j X_{R} (f) \end{matrix}

$X(f)=jX_R(f)\tag{2}$

在哪里 $X_R(f)$ 是（不一定是实值的）傅里叶变换 $x_R(t)$ . 现在你可能知道了 $X_R(f)$ 满足

\begin{matrix} (3) & X_{R} (f) = X_{R}^{*} (- f) \end{matrix}

$X_R(f)=X_R^*(-f)\tag{3}$

最后， $X(f)$ 必须满足

\begin{matrix} (4) & X (f) = - X^{*} (- f) \end{matrix}

$X(f)=-X^*(-f)\tag{4}$

你能得出你自己的结论吗？ $X(f)$ ?

$j$ 可以写成 $e^{j\frac{\pi}{2}}$ . 如果我们有任何实值函数 $x(t)$ , 乘以这个 $e^{j\frac{\pi}{2}}$ 和 $x(t)$ ，你只会改变相位响应 $x(t)$ 由 $\frac{\pi}{2}$ . 从数学上可以看出，如果 $X(f)$ 是的傅里叶表示 $x(t)$ ，然后：

X (f) = | X (f) | \cdot e^{j ϕ (f)}

$X(f) = |X(f)|\cdot e^{j\phi(f)}$ 在哪里

| X (f) |

$|X(f)|$ 是幅度响应和

ϕ (f)

$\phi(f)$ 是相位响应。所以，傅里叶表示

j \cdot x (t)

$j\cdot x(t)$ 将只是：

| X (f) | \cdot e^{j ϕ (f)} \cdot e^{j \frac{π}{2}} = | X (f) | \cdot e^{j (ϕ (f) + \frac{π}{2})}

$|X(f)|\cdot e^{j\phi(f)}\cdot e^{j\frac{\pi}{2}} = |X(f)|\cdot e^{j\left(\phi(f)+\frac{\pi}{2}\right)}$ 我们不能说相位响应是偶数还是奇数。

观察到这样一个事实 $x(t)$ 是一个实值函数，我们知道 $X^*(f) = X(-f)$ ，意味着实值函数的傅里叶表示是共轭对称的。写出两者的幅度和相位响应 $X^*(f)$ 和 $X(-f)$ 并将它们等同于检查偶数或奇数。

这可能会有所帮助：https ://users.aber.ac.uk/ruw/teach/340/ft_symmetry.php

你的例子很简单。你只是乘以一个常数因子 $j$ 并且该因素通过傅立叶变换进行，即它很简单

F {j \cdot x (t)} = j \cdot F {x (t)}

$\mathcal F\big\{j \cdot x(t)\big\} = j \cdot \mathcal F\big\{x(t)\big\}$

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