对于因果时域信号，傅里叶变换将与虚部复数为实部的希尔伯特变换。

通过注意傅里叶变换的以下附加属性，这可能会更清楚：

• 非因果实偶波形的 FT ($f(t) = f(-t)$) 将是真实的。
• 非因果实奇波形的 FT ($f(t) = -f(-t)$) 都是虚构的。
• 非因果虚奇数波形的 FT 都是实数。
• 非因果虚偶波形的 FT 都是虚数。

通过在复杂的 IQ 平面上将波形观察为时间上恒定幅度的旋转相量，很容易证明上述所有内容，因为 FT 是每个相量在基于其旋转速率的频率位置处的幅度。（实际上，傅里叶级数展开就是专门将任意单值解析函数分解成这样的旋转相量）。

考虑到这些属性，您可以通过添加或减去上面列出的情况将其扩展到因果函数和反因果函数：因果函数和反因果函数是偶函数和奇函数的总和。理解这一点可以更深入地了解许多其他傅立叶变换属性。

至于关于实部和虚部之间有趣关系的第一个陈述；如果仍然不清楚这是如何发生的，那么一些人可能更容易交换时域和频域并考虑发生了什么：在时域中，如果将实信号的希尔伯特变换添加为虚部，则结果为边谱。单边频谱在频域中等同于时域中的因果或反因果信号。换句话说，因果信号是单边时域信号。

考虑余弦的非常简单的情况，它是具有正负频率的两侧频谱。这在欧拉恒等式中也很明显，我们看到我上面提到的两个旋转相量，一个逆时针旋转（正频率），一个顺时针旋转（负频率）：

$$cos(\omega t) = \frac{1}{2}e^{j\omega t} + \frac{1}{2}e^{-j\omega t}$$

现在考虑给出的恒等式：

$$e^{j\omega t} = cos(\omega t) + j sin(\omega t)$$

$sin(\omega t)$是希尔伯特变换$cos(\omega t)$， 和$e^{j\omega t}$是前面提到的单面光谱。

所以我们看到以下关系成立：

$$f(t) = a(t) + j H\{a(t)\}$$

在哪里$f(t)$是具有单面傅里叶变换的函数，并且$H\{\}$是希尔伯特变换。

类似地，通过交换时域和频域，以下关系将成立：

$$F(\omega) = A(\omega) + j H\{A(\omega)\}$$

这里哪里$F(\omega)$是因果时域函数的傅里叶变换$f(t)$. 所结果的$f(t)$具有单面傅立叶变换的信号被称为“解析信号”，它还具有最小相位的特性：它的拉普拉斯变换将在左半平面上具有所有极点和零点（对于离散-时间系统 z 变换将在单位圆内具有所有极点和零点）。最小相位系统将具有单边频谱，但并非所有单边频谱都是最小相位系统：我们可以将最小相位系统与仅修改相位的全通滤波器级联，从而产生混合相位或最大相位-phase 系统，但由于这只会修改频谱中的相位并且不会添加新频率，因此频谱仍将是单面的。

有关这方面的更多详细信息，请参阅：

复信号的 FFT - 分离实部和虚部