信息处理 - 自相关问题 - 吾爱随笔录

我正在尝试了解自相关，但在尝试理解该过程时遇到了一些问题。

我有一个名为的伯努利过程。在这个过程中，和 $X[t]$ $P(X[t] = 1) = p$ $P(X[t] = 0) = 1-p.$

我们有一个由形成的新过程，即： $X[t]$

Y [t] = \frac{1}{2} (X [t] + X [t - 1])

$Y[t] = \frac 12 \left(X[t] + X[t-1]\right)$

我必须找到自相关。这是我到目前为止得到的： $r_Y [t+\tau,t]$

\begin{aligned} r_{Y} [t + τ, t] & = E (Y [t + τ] Y [t]) \\ = \frac{1}{4} E {(X [t + τ] + X [t + τ - 1]) (X [t] + X [t - 1])} \\ = \frac{1}{4} (r_{X} [t + τ, t] + r_{X} [t + τ, t - 1] + r_{X} [t + τ - 1, t] + r_{X} [t + τ - 1, t - 1]) \end{aligned}

$\begin{align} r_Y [t+\tau,t]& = E\left(Y[t+\tau]Y[t]\right)\\ &= \frac 14 E\left\{\left(X[t+\tau] + X[t+\tau-1]\right)\left(X[t] + X[t-1]\right)\right\}\\ &= \frac 14 \left(r_X[t+\tau,t]+r_X[t+\tau,t-1]+r_X[t+\tau-1,t]+r_X[t+\tau-1,t-1]\right) \end{align}$ 从那里，我可以得到：

r_{x} [t + τ, t]

$r_x[t+\tau,t]$

r_{X} [t + τ, t] = {\begin{cases} p^{2} & if τ \neq 0 \\ p & if τ = 0 \end{cases}

$r_X[t+\tau,t] = \begin{cases} p^2 & \quad \text{if } \tau \neq 0\\ p & \quad \text{if } \tau = 0\\ \end{cases}$

但是我遇到的墙（也许是因为缺乏睡眠对我来说没有意义）是如何将该表达式替换回？我知道您最终会得到三个不同的答案，但是尝试将其替换回去似乎给我造成了混乱。我希望有人能帮助我完成这部分。 $r_Y[t+\tau,t]$