抽取信号$x[n]$由一个整数因子$M$结果如下$\mathcal{Z}$-转换：

$$Y(z)=\frac{1}{M}\sum_{k=0}^{M-1}X\left(e^{-j2\pi k/M}z^{1/M}\right)\tag{1}$$

如果你假设$x[n]$在抽取之前通过抗混叠滤波器进行滤波，抽取滤波器的传递函数可以近似为$k=0$在 (1) 中：

$$Y(z)\approx\frac{1}{M}X(z^{1/M})\tag{2}$$

因此，如果$z_{\infty}$是一个极点$X(z)$然后$z_{\infty}^{M}$是一个极点$Y(z)$. 用极坐标写极点$z_{\infty}=re^{j\phi}$给

$$z_{\infty}^M=r^Me^{jM\phi}$$

所以极点的角度增加了一个因子$M$.