关于这个问题我已经讨论了一个多小时。我的任务是使用 MATLAB 为信号执行一个简单的 DTFT 任务$x(t):=\cos(2\pi f_{0}t)$. 假设我们以$200\operatorname{Hz}$在$0.5\operatorname{sec}$即，我们要求$N=100$采样点。此外，让$f_{0}:=55\operatorname{Hz}$.

指定的时间间隔是$5\times10^{-3}\leq t\leq 0.5$马上。使用 MATLAB 我首先定义$t$作为大小向量$100\times 1$. 因此，让t=linspace(5e-3,0.5,100)除了x=cos(2*pi*55*t)频率向量f=linspace(-fs/2,fs/2,100)where之外fs=200，最后执行命令X=fftshift(fft(x/100))。

使用 MATLAB 在 MATLAB 上绘制幅度谱$\mathsf{stem(f,abs(X))}$产生以下结果：

虽然这只是完成了这项任务，但如果不了解以下内容，我对结果并不满意：

1. 为什么在两者之间和之外有低量化频率$f=\pm 55\operatorname{Hz}$? 我们从理论上知道$x[n]=\cos(2\pi f_0n)\xrightarrow{\mathscr{F}}0.5[\delta(f-f_{0})+\delta(f+f_{0})]$，这也引出了第二个问题。

2. 我将 DFT 定义为 $$X[k]:=\frac{1}{N}\sum_{n=0}^{N}x[n]\exp\left(-j\frac{2\pi kn}{N}\right)\tag{1}$$ 理论上，幅度应该正好位于$0.5\operatorname{Hz}$，这与振幅约为$0.33$. 为什么会出现这种情况？我定义 DFT 的方式应该将输出的幅度缩放到$0.5$

3. 为什么要用两点来表示$\delta(f-55)$和两点代表$\delta(f+55)$? 我们应该期待一个急剧的三角洲。我正在采样偶数个点，这可能是问题吗？

请注意，对于第一个问题，我在网上做了一些研究，并收到了一些关于频谱泄漏的结果，这似乎暗示了与采样点数量相关的振荡数量的某些方面。

另一个注意事项：回答这三个问题将使我能够更多地了解频谱如何受到采样点数量的影响，如果这是我第一次遇到的情况，它还可以让我了解频谱泄漏等新概念问题，它还将帮助我更多地操纵 DTFT，同时了解变化等变化$f_{0}$和$N$并观察频域的反应。