一般背景：在计算机中以数字方式表示信号要求信号是离散的。这意味着它在另一个域中是周期性的。当您使用 DFT 之类的东西时，您需要信号在两个域中都是离散的：这意味着信号在两个域中也是周期性的。

如果我应用一个理想的低通滤波器，我应该得到一个无限的数据点序列，因为 sinc 函数......

如果您想在计算机中以数字方式执行此操作，则它不是 sinc 函数。低通滤波器必须在两个域中都是周期性的，因此您在时域中得到的是具有时域混叠的 sinc 函数的周期性重复。

它仍然是无限的时间。事实上，它必须是无限的，因为它是周期性的。只要所涉及的所有信号实际上都是具有共享周期的周期性信号，那么事情就会“按预期”工作。

在这一点上，术语“低通”滤波器变得复杂。由于频谱是周期性的，它将通过任意高的频率。因此需要对其进行解释：它消除了基带中的较高频率或类似的东西。

$y\left(m\right)\ =\ \displaystyle\sum_{i=1}^{N}\cos\left(m\alpha_{i}\right)$

您在这里缺少相位或正弦项，但您正在重新发明 DFT 或余弦变换。你遇到了完全相同的问题。如何选择 N ？

另外，如果我知道信号正好有 N 个点

这是一个矛盾。您在原始方程式中描述的信号是无限长的。一旦你让它在时间上是有限的，你就是在窗口化它，这会极大地改变频谱和背后的数学。

那么信号最多可以用N个实频率来表示

正确的。例如离散余弦变换，它是 DFT 的近亲。但这在这里没有实质性的区别。

那为什么理想的低通滤波器无法实现呢？

只要一切周期性“正确”，它就可以实现。周期性有助于处理无限长的时间：您只需要计算一个时期内发生的事情，并且您拥有所有可以拥有的信息，因为所有其他时期都是相同的。

然而，大多数现实世界的信号都不是周期性的“正确方式”，因此理想的低通滤波很少可行。