对于任何序列$x[n]$你有

$$x[n]\star\delta[n-n_0]=x[n-n_0]\tag{1}$$

因为

$$x[n]\star\delta[n-n_0]=\sum_{k=-\infty}^{\infty}x[k]\delta[n-n_0-k]\tag{2}$$

注意$\delta[n-n_0-k]$只有非零$k=n-n_0$，因此结果$(1)$.

现在使用$x[n]=\delta[n+1]-\delta[n]$和$n_0=1$.

的影响$\delta[n-n_0]$（作为过滤器）是一个转变：$x[n]*\delta[n-n_0]=x[n-n_0]$. 例如，$\delta[n]$什么都不做（一个$0$转移），$\delta[n-1]$向右移动一位，$\delta[n+1]$向左移动一位。

所以 $\delta[n+1]*\delta[n-1]$向左移动一位，然后向右移动一位。最后，它执行零偏移：$\delta[n+1]*\delta[n-1]=\delta[n]$. 和 $\delta[n]*\delta[n-1]$进行零位移，然后向右位移：$\delta[n]*\delta[n-1]=\delta[n-1]$.

因此，通过线性，

$$(\delta[n+1]-\delta[n])*\delta[n-1]=\delta[n]-\delta[n-1]\,.$$