均值最小化平方误差（或 L2 范数，请参阅此处或此处），因此自然选择方差来测量与均值的距离是使用平方误差（请参阅此处了解我们为何对其进行平方）。另一方面，中位数使绝对误差（L1 范数）最小化，即它是一个位于数据“中间”的值，因此与中位数的绝对距离（所谓的中位数绝对偏差或 MAD）似乎是更好地衡量中位数附近的变异程度。您可以在此线程中阅读有关此关系的更多信息。

简而言之，方差与 MAD 的不同之处在于它们如何定义数据的中心点，这会影响我们测量其周围数据点变化的方式。平方值使得异常值对中心点（均值）的影响更大，而在中位数的情况下，所有点对其影响相同，因此绝对距离似乎更合适。

这也可以通过简单的模拟来显示。如果您比较平均值和中位数的平方距离，那么总平方距离与平均值的距离几乎总是小于与中位数的距离。另一方面，总绝对距离离中位数更小，然后离平均值更小。用于进行模拟的 R 代码发布在下面。

sqtest  <- function(x) sum((x-mean(x))^2)  < sum((x-median(x))^2)
abstest <- function(x) sum(abs(x-mean(x))) > sum(abs(x-median(x)))

mean(replicate(1000, sqtest(rnorm(1000))))
mean(replicate(1000, abstest(rnorm(1000))))

mean(replicate(1000, sqtest(rexp(1000))))
mean(replicate(1000, abstest(rexp(1000))))

mean(replicate(1000, sqtest(runif(1000))))
mean(replicate(1000, abstest(runif(1000))))

在估计这种“方差”时使用中位数而不是均值的情况下，这将导致比传统上使用均值更高的估计值。

顺便说一句，L1 和 L2 范数的关系也可以在贝叶斯上下文中考虑，就像在这个线程中一样。