这只是一些评论而不是答案（没有足够的代表点）。

(1)。简单估计量的偏差有一个明确的公式$min(\bar{x},\bar{y})$这里：

克拉克，CE 1961，3 月至 4 月。有限随机变量中的最大值。运筹学 9 (2): 145–162。

不知道这有什么帮助

(2)。这只是直觉，但我认为这样的估计器不存在。如果有这样的估计量，它也应该是无偏的$\mu_x=\mu_y=\mu$. 因此，任何使估计器小于两个样本均值的加权平均值的“降级”都会使估计器对这种情况产生偏差。

您是对的，不存在无偏估计量。问题在于，由于不可微分性，感兴趣的参数不是基础数据分布的平滑函数$\mu_x=\mu_y$.

证明如下。让$T(X,Y)$做一个无偏估计。然后$E_{\mu_x,\mu_y}[T(X,Y)]=\min\{\mu_x,\mu_y\}$. 左边是处处可微的$\mu_x$和$\mu_y$（在积分符号下区分）。然而，右手边不可微分$\mu_x=\mu_y$，从而导致矛盾。

Hirano 和 Porter 在即将发表的 Econometrica 论文中有一个一般性证明（参见他们的命题 1）。这是工作文件版本：

http://www.u.arizona.edu/~hirano/papers/hp4_2011_11_03.pdf

给定样本的一组数字的最小值（或最大值）有一个估计量。参见 Laurens de Haan，“使用顺序统计估计函数的最小值”，JASM，76(374)，1981 年 6 月，467-469。

我相当肯定不存在无偏估计量。但是对于大多数数量来说，不存在无偏估计量，而且无偏性首先并不是一个特别理想的属性。你为什么要在这里？