我想你正在寻找的是概率生成函数。二项分布的概率生成函数的推导可以在下找到

http://economictheoryblog.com/2012/10/21/binomial-distribution/

然而，现在看看维基百科总是一个好主意，尽管我不得不说二项式的规范可以改进。

https://en.wikipedia.org/wiki/Binomial_distribution#Specification

每个分布都有一些未知参数。例如，在伯努利分布中，有一个未知参数的成功概率 (p)。同样，在二项分布中有两个未知参数 n 和 p。这取决于您要估计哪个未知参数的目标。您可以修复一个参数并估计另一个参数。有关更多信息，请参阅此

假设你有数据$k_1, \dots, k_m \sim \text{iid binomial}(n, p)$.

您可以通过设置轻松推导出矩估计量$\bar{k} = \hat{n}\hat{p}$和$s_k^2 = \hat{n}\hat{p}(1-\hat{p})$并解决$\hat{n}$和$\hat{p}$.

或者您可以计算 MLE（也许只是数字），例如optim在 R 中使用。

我认为我们可以使用矩估计方法通过均值和方差来估计二项式分布的参数。

使用矩估计的方法来估计参数$p$和$m$. [{\hat{p}}_n=\frac{\overline{X}-S^2}{\overline{X}}][\hat{m}_n=\frac{\overline{X}^2} {\overline{X}-S^2}] 证明参数的估计量$m$和$p$通过矩量法是方程组的解

简单的算术显示： [S^2 = mp\left(1 - p\right) = \bar{X}\left(1 - p\right)] [S^2=\bar{X}-\bar{X } p] [\bar{X}p=\bar{X}-S^2, \mbox{ 因此 } \hat{p}=\frac{\bar{X}-S^2}{\bar{X }}.] 那么，[\bar{X} = mp, \mbox{ 即 } m \left(\frac{\bar{X}-S^2}{\bar{X}}\right)] [\bar{X}=m\left(\frac{\bar{X}-S^2}{\bar{X}}\right), \mbox{ 或 } \hat{m}=\frac{\条{X}^2}{\条{X}-S^2}。]