机器算法验证 - Y 的密度 = log(X) 对于 Gamma 分布的 X - 吾爱随笔录

假设我有一个随机变量，我定义。我想找到的概率密度函数。 $X \sim \text{Gamma}(k, \theta)$ $Y = \log(X)$ $Y$

我本来以为我只要定义累积分布函数X，做一个变量的变化，把积分的“里面”作为我的密度，像这样，

\begin{aligned} P (X \leq c) & = \int_{0}^{c} \frac{1}{θ^{k}} \frac{1}{Γ (k)} x^{k - 1} e^{- \frac{x}{θ}} d x \\ P (Y \leq \log c) & = \int_{\log (0)}^{\log (c)} \frac{1}{θ^{k}} \frac{1}{Γ (k)} \exp (y)^{k - 1} e^{- \frac{\exp (y)}{θ}} \exp (y) d y \end{aligned}

$\begin{align} P(X \le c) & = \int_{0}^{c} \frac{1}{\theta^k} \frac{1}{\Gamma(k)} x^{k- 1} e^{-\frac{x}{\theta}} dx \\ P(Y \le \log c) & = \int_{\log(0)}^{\log(c)} \frac{1}{\theta^k} \frac{1}{\Gamma(k)} \exp(y)^{k- 1} e^{-\frac{\exp(y)}{\theta}} \exp(y) dy \\ \end{align}$

在这里，我使用和，然后根据和。 $y = \log x$ $dy = \frac{1}{x} dx$ $x$ $dx$ $y$

不幸的是，输出没有集成到 1。我不确定我的错误在哪里。有人能告诉我我的错误在哪里吗？