一种简单的方法是栅格化积分域并计算积分的离散近似值。
有一些事情需要注意：
确保覆盖点的范围之外：您需要包括内核密度估计将具有任何可观值的所有位置。这意味着您需要将点的范围扩大到内核带宽的三到四倍（对于高斯内核）。
结果会随着栅格的分辨率而有所不同。 分辨率需要是带宽的一小部分。由于计算时间与栅格中的像元数量成正比，因此使用比预期分辨率更粗糙的分辨率执行一系列计算几乎不需要额外的时间：检查较粗分辨率的结果是否与最好的分辨率。如果不是，则可能需要更精细的分辨率。
这是 256 个点的数据集的示意图：
这些点显示为叠加在两个核密度估计上的黑点。六个大红点是评估算法的“探针”。这已针对分辨率为 1000 x 1000 个单元的四种带宽（默认为 1.8（垂直）和 3（水平）、1/2、1 和 5 个单位）完成。下面的散点图矩阵显示了结果对这六个探测点带宽的依赖程度，这些探测点覆盖了广泛的密度范围：
出现这种变化有两个原因。显然，密度估计不同，引入了一种形式的变化。更重要的是，密度估计的差异会在任何单个（“探测”）点产生很大的差异。后一种变化在点簇的中等密度“边缘”周围最大 - 正是那些可能最常使用此计算的位置。
这表明在使用和解释这些计算的结果时需要非常谨慎，因为它们可能对相对武断的决定（使用的带宽）非常敏感。
代码
该算法包含在第一个函数的半打行中，f. 为了说明它的使用，其余代码生成前面的图。
library(MASS) # kde2d
library(spatstat) # im class
f <- function(xy, n, x, y, ...) {
#
# Estimate the total where the density does not exceed that at (x,y).
#
# `xy` is a 2 by ... array of points.
# `n` specifies the numbers of rows and columns to use.
# `x` and `y` are coordinates of "probe" points.
# `...` is passed on to `kde2d`.
#
# Returns a list:
# image: a raster of the kernel density
# integral: the estimates at the probe points.
# density: the estimated densities at the probe points.
#
xy.kde <- kde2d(xy[1,], xy[2,], n=n, ...)
xy.im <- im(t(xy.kde$z), xcol=xy.kde$x, yrow=xy.kde$y) # Allows interpolation $
z <- interp.im(xy.im, x, y) # Densities at the probe points
c.0 <- sum(xy.kde$z) # Normalization factor $
i <- sapply(z, function(a) sum(xy.kde$z[xy.kde$z < a])) / c.0
return(list(image=xy.im, integral=i, density=z))
}
#
# Generate data.
#
n <- 256
set.seed(17)
xy <- matrix(c(rnorm(k <- ceiling(2*n * 0.8), mean=c(6,3), sd=c(3/2, 1)),
rnorm(2*n-k, mean=c(2,6), sd=1/2)), nrow=2)
#
# Example of using `f`.
#
y.probe <- 1:6
x.probe <- rep(6, length(y.probe))
lims <- c(min(xy[1,])-15, max(xy[1,])+15, min(xy[2,])-15, max(xy[2,]+15))
ex <- f(xy, 200, x.probe, y.probe, lim=lims)
ex$density; ex$integral
#
# Compare the effects of raster resolution and bandwidth.
#
res <- c(8, 40, 200, 1000)
system.time(
est.0 <- sapply(res,
function(i) f(xy, i, x.probe, y.probe, lims=lims)$integral))
est.0
system.time(
est.1 <- sapply(res,
function(i) f(xy, i, x.probe, y.probe, h=1, lims=lims)$integral))
est.1
system.time(
est.2 <- sapply(res,
function(i) f(xy, i, x.probe, y.probe, h=1/2, lims=lims)$integral))
est.2
system.time(
est.3 <- sapply(res,
function(i) f(xy, i, x.probe, y.probe, h=5, lims=lims)$integral))
est.3
results <- data.frame(Default=est.0[,4], Hp5=est.2[,4],
H1=est.1[,4], H5=est.3[,4])
#
# Compare the integrals at the highest resolution.
#
par(mfrow=c(1,1))
panel <- function(x, y, ...) {
points(x, y)
abline(c(0,1), col="Red")
}
pairs(results, lower.panel=panel)
#
# Display two of the density estimates, the data, and the probe points.
#
par(mfrow=c(1,2))
xy.im <- f(xy, 200, x.probe, y.probe, h=0.5)$image
plot(xy.im, main="Bandwidth=1/2", col=terrain.colors(256))
points(t(xy), pch=".", col="Black")
points(x.probe, y.probe, pch=19, col="Red", cex=.5)
xy.im <- f(xy, 200, x.probe, y.probe, h=5)$image
plot(xy.im, main="Bandwidth=5", col=terrain.colors(256))
points(t(xy), pch=".", col="Black")
points(x.probe, y.probe, pch=19, col="Red", cex=.5)
