机器算法验证 - 辉瑞/BioNTech 疫苗没有/低于研究表明的效果的概率是多少？ - 吾爱随笔录

辉瑞/BioNTech 疫苗没有/低于研究表明的效果的概率是多少？

机器算法验证可能性

2022-03-13 03:14:38

据报道，辉瑞/BioNTech 疫苗的功效为 90%。AFAIK，第三阶段研究有以下初步结果（截至 11 月 9 日）：

43,000 人接种了疫苗，50% 接种了疫苗，50% 接种了安慰剂
在这 43,000 人中，有 94 人在研究期间的 Covid-19 检测呈阳性
在这 94 人中，接受疫苗的组中只有不到 9人，其他人则在对照组中。
这意味着我们的（初步）功效超过 90%。

让我们给这些数字一些变量名（让我们修复一些数字以摆脱“小于”）：

\begin{aligned} N & = 43^{'} 000 \\ N_{v a c} & = 21^{'} 500 \\ N_{c g} & = 21^{'} 500 \\ C_{v a c} & = 9 \\ C_{c g} & = 85 \end{aligned}

$\begin{aligned}[ll] N &= 43'000\\N_{vac}&=21'500\\N_{cg}&=21'500\\C_{vac}&=9\\C_{cg} &= 85 \end{aligned}$

接种组和对照组都有 21,500 名成员。接种组中有 Covid-19 诊断，而。 $C_{vac}=9$ $C_{cg}=85$

我想用这些数字来计算疫苗效力或更高 $P_X$ $X$

当然，根据这项研究的最陡部分应该在但是，由于随机效应，我们仍有可能高估了疫苗的功效。 $P_X$ $X=90\%$

越高的导数就越“窄” （研究的参与者越多，不确定性越小）。对于非常小的，应该非常接近本身，因为我们对疫苗知之甚少。 $N$ $P_X$ $N$ $P_X$ $X$

如何计算？ $P_X$

1个回答

他们使用Beta-Binomial Bayesian 模型来计算后验功效（以 PDF 格式链接到学习计划）。

一、让 $\pi_v$ 和 $\pi_c$ 分别是接种疫苗或控制对象感染 Covid-19 的人口概率。群体疫苗效力定义为

V E = 1 - \frac{π_{v}}{π_{c}}

$\mathrm{VE}=1 - \frac{\pi_v}{\pi_c}$

统计学家假设参数的先验分布

θ = \frac{1 - V E}{2 - V E}

$\theta = \frac{1 - \mathrm{VE}}{2 - \mathrm{VE}}$

代入功效的定义，可以改写为

θ = \frac{π_{v}}{π_{v} + π_{c}}

$\theta = \frac{\pi_v}{\pi_v + \pi_c}$ 所以

θ

$\theta$ 是感染 Covid-19 的受试者来自接种组的概率，并且

1 - θ

$1-\theta$ 是受试者在对照组的概率。

研究计划指出，他们假设了一个 Beta（ $a_0 =0.700102, b_0=1$ ) 先于 $\theta$ 这导致先验平均值 $\mathrm{E}(\theta)=0.4118$ 这对应于 30% 功效的先前平均值，因为 $\mathrm{VE}=(1 - 2\theta)/(1-\theta)$ .

回想一下，后验只是另一个带有参数的 Beta 分布 $a_1 = a_0 + m_v$ 和 $b_1 = b_0 + m_c$ 在哪里 $m_v$ 和 $m_c$ 分别表示接种疫苗组和对照组生病的受试者人数。您可以从此后验分布计算所有所需的概率（并在有更多数据可用时对其进行更新）。

让我们用您帖子中提供的数据来说明它。我们有 $m_v = 9$ 和 $m_c = 85$ 所以后验 Beta 分布有参数 $a_1 = 0.700102 + 9 = 9.700102$ 和 $b_1 = 1 + 85 = 86$ . 我们感兴趣的是疫苗具有 90% 或更高功效的概率，这对应于 $\theta \leq 1/11$ .

中的计算R如下：

# Priors
a0 = 0.700102
b0 = 1

# Posterior
a1 = a0 + 9
b1 = b0 + 85

# Critical probability
p_crit <- 0.9
theta_crit <- (p_crit - 1)/(p_crit - 2)

# Posterior probability
pbeta(theta_crit, a1, b1)
[1] 0.3982548

# Mode
theta_mode <- (a1 - 1)/(a1 + b1 - 2)
(1 - 2*theta_mode)/(1 - theta_mode)
[1] 0.8976459

所以功效大于90%的后验概率为 $0.398$ 这对应于图中的灰色区域。后验 Beta 分布的模式为 $0.093$ 这转化为的功效 $0.898$ ，这很好地对应于报告的 90% 的功效。

这是后验密度图。红色垂直线表示 $\theta$ 低于其功效 $\geq$ 90%（由灰色区域描绘）：

可以在此博客中找到更详细的说明。

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