摘要：是否有任何统计理论支持使用$t$- 分布（基于残差偏差的自由度）用于逻辑回归系数的测试，而不是标准正态分布？

前段时间我发现在 SAS PROC GLIMMIX 中拟合逻辑回归模型时，在默认设置下，逻辑回归系数使用$t$分布而不是标准正态分布。$^1$也就是说，GLIMMIX 报告一个列，其比率$\hat{\beta}_1/\sqrt{\text{var}(\hat{\beta}_1)}$（我会称之为$z$在这个问题的其余部分），但还报告了“自由度”列，以及$p$-基于假设的值$t$分配给$z$具有基于残余偏差的自由度 - 即，自由度 = 观察总数减去参数数量。在这个问题的底部，我提供了一些 R 和 SAS 代码和输出，用于演示和比较。$^2$

这让我很困惑，因为我认为对于逻辑回归等广义线性模型，没有统计理论支持使用$t$-在这种情况下分布。相反，我认为我们对这个案子的了解是

• $z$是“近似”正态分布的；
• 对于小样本量，这种近似值可能很差；
• 然而，不能假设$z$有一个$t$在正态回归的情况下我们可以假设的分布。

现在，在直观的层面上，我认为如果$z$是近似正态分布的，它实际上可能有一些分布，基本上是“$t$-like”，即使它不完全是$t$. 所以使用$t$这里的分布似乎并不疯狂。但我想知道的是：

1. 实际上是否有统计理论表明$z$确实遵循$t$逻辑回归和/或其他广义线性模型的分布？
2. 如果没有这样的理论，是否至少有论文表明假设$t$以这种方式分布是否与假设正态分布一样好，甚至可能更好？

更一般地说，除了直觉认为它可能基本上是明智的之外，是否有任何实际支持 GLIMMIX 在这里所做的事情？

代码：

summary(glm(y ~ x, data=dat, family=binomial))

输出：

Call:
glm(formula = y ~ x, family = binomial, data = dat)

Deviance Residuals: 
   Min      1Q  Median      3Q     Max  
-1.352  -1.243   1.025   1.068   1.156  

Coefficients:
            Estimate Std. Error z value Pr(>|z|)    
(Intercept)  0.22800    0.06725   3.390 0.000698 ***
x           -0.17966    0.10841  -1.657 0.097462 .  
---
  Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1

(Dispersion parameter for binomial family taken to be 1)

    Null deviance: 1235.6  on 899  degrees of freedom
Residual deviance: 1232.9  on 898  degrees of freedom
AIC: 1236.9

Number of Fisher Scoring iterations: 4

SAS代码：

proc glimmix data=logitDat;
    model y(event='1') = x / dist=binomial solution;
run;

SAS 输出（编辑/缩写）：

The GLIMMIX Procedure

               Fit Statistics

-2 Log Likelihood            1232.87
AIC  (smaller is better)     1236.87
AICC (smaller is better)     1236.88
BIC  (smaller is better)     1246.47
CAIC (smaller is better)     1248.47
HQIC (smaller is better)     1240.54
Pearson Chi-Square            900.08
Pearson Chi-Square / DF         1.00


                       Parameter Estimates

                         Standard
Effect       Estimate       Error       DF    t Value    Pr > |t|

Intercept      0.2280     0.06725      898       3.39      0.0007
x             -0.1797      0.1084      898      -1.66      0.0978

$^1$实际上，我首先注意到PROC GLIMMIX 中的混合效应逻辑回归模型，后来发现 GLIMMIX 也使用“香草”逻辑回归来做到这一点。

$^2$我确实明白，在下面显示的示例中，有 900 次观察，这里的区别可能没有实际区别。那不是我的真正意思。这只是我快速编造的数据，并选择了900，因为它是一个帅气的数字。但是我确实有点想知道小样本量的实际差异，例如$n$< 30。