方法一：高阶皮尔逊系统

按照惯例，Pearson 系统被视为解决方案系列$p(x)$到微分方程：

$$\frac{d p (x)}{dx} \; = \; -\frac{(a+x) }{c_0 + c_1 x + c_2 x^2} \; p(x)$$

其中四个 Pearson 参数$(a, c_0, c_1, c_2)$可以用总体的前四个矩来表示。

而不是将皮尔逊系统基于二次$c_0 + c_1 x + c_2 x^2$，可以考虑使用高阶多项式作为基石。因此，例如，可以考虑基于三次多项式的 Pearson 式系统。这将是解决方案系列$p(x)$到微分方程：

$$\frac{d p(x)}{dx} \; = \; -\frac{(a+x) }{c_0 + c_1 x + c_2 x^2 + c_3 x^3} \; p (x)$$

这产生了解决方案：

前段时间我为了好玩而解决了这个问题（与 OP 有相同的思路）：推导和解决方案在我们书的第 5 章中给出；如果有兴趣，可以在这里免费下载：

http://www.mathstatica.com/book/bookcontents.html

请注意，虽然二阶（二次）Pearson 族可以用前 4 个矩表示，但三阶（三次）Pearson 式族需要前 6 个矩。

方法 2：Gram-Charlier 展开式

Gram-Charlier 展开式也在同一章第 5 章（参见第 5.4 节）中进行了讨论......并且还允许构建一个拟合密度，基于任意大$k^{th}$时刻。正如 OP 所建议的那样，Gram-Charlier 展开将拟合的 pdf 表示为标准正态 pdf 的一系列导数的函数，称为 Hermite 多项式。Gram-Charlier 系数被求解为种群矩的函数......并且扩展越大，所需的矩越多。您可能还希望查看相关的御剑扩展。

人口时刻或样本时刻？

对于 Pearson 式系统：如果总体的矩是已知的，那么使用更高的矩应该明确地产生更好的拟合。然而，如果观察到的数据是从总体中抽取的随机样本，则需要权衡：高阶多项式意味着需要高阶矩，而后者的估计可能不可靠（具有高方差），除非样本量“大”。换句话说，给定样本数据，使用更高的矩进行拟合可能会变得“不稳定”并产生较差的结果。Gram-Charlier 展开式也是如此：添加一个额外的项实际上会产生更差的拟合，因此需要注意。