机器算法验证 - 如果事件的概率之和等于它们合并的概率，这是否意味着这些事件是不相交的？ - 吾爱随笔录

机器算法验证可能性科尔莫哥罗夫公理

2022-03-10 11:39:06

从公理上讲，概率是一个函数，如果它满足三个基本假设（Kolmogorov 的假设），则它为每个事件分配一个实数 $P$ $P(A)$ $A$

$P(A) \geq 0 \ \text{for every} A$
$P(\Omega) = 1$
$\text{If} \ A_1, A_2, \cdots \text{are disjoint, then}\\ P\left(\bigcup_{i=1}^{\infty}A_i\right) = \sum\limits_{i=1}^{\infty}P(A_i)$

我的问题是，在最后一个假设中，是否假设相反？如果我证明可以将一定数量的事件的概率相加得到它们并集的概率，我可以直接使用这个公理来断言这些事件是不相交的吗？

2个回答

不，但您可以得出结论，任何共享事件的概率为零。

不相交意味着对于任何。你不能得出结论，但你可以得出结论对于所有。任何共享元素的概率必须为零。所有高阶交叉点也是如此。 $A_i \cap A_j=\emptyset$ $i\ne j$ $P(A_i \cap A_j)=0$ $i\ne j$

换句话说，你可以说，概率为 1，没有一个集合可以同时出现。我见过这样的集合被称为几乎不相交或几乎肯定不相交，但我认为这样的术语不是标准的。

例如，实际上并不考虑均匀分布。

令和和为。 $A_1 = [0,0.5) \cup (\mathbb{Q} \cap [0,1])$ $A_2=[0.5,1] \cup (\mathbb{Q} \cap [0,1])$ $A_i =\emptyset$ $i>2$

$P(A_1)=0.5$ 和，它们总和为，但它们不是不相交的。。 $P(A_2)=0.5$ $1$ $A_1 \cap A_2 \neq \emptyset$

它们仍然可以与概率度量相交。 $0$

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