机器算法验证 - 正弦和余弦之间的相关性 - 吾爱随笔录 - 问答

正弦和余弦之间的相关性

机器算法验证相关性方差随机变量期望值

2022-03-16 11:43:54

假设均匀分布在上。让和。和之间的相关性为零。 $X$ $[0, 2\pi]$ $Y = \sin X$ $Z = \cos X$ $Y$ $Z$

看来我需要知道正弦和余弦的标准偏差，以及它们的协方差。我该如何计算这些？

我想我需要假设具有均匀分布，并查看转换后的变量和。然后无意识统计学家的定律将给出期望值 $X$ $Y=\sin(X)$ $Z=\cos(X)$

E [Y] = \frac{1}{b - a} \int_{- \infty}^{\infty} \sin (x) d x

$E[Y] = \frac{1}{b-a}\int_{-\infty}^{\infty} \sin(x)dx$ 和

E [Z] = \frac{1}{b - a} \int_{- \infty}^{\infty} \cos (x) d x

$E[Z] = \frac{1}{b-a}\int_{-\infty}^{\infty} \cos(x)dx$

（密度是恒定的，因为它是均匀分布，因此可以移出积分）。

但是，这些积分没有定义（但我认为柯西主值为零）。

我该如何解决这个问题？我想我知道解决方案（相关性为零，因为正弦和余弦具有相反的相位），但我找不到如何推导它。

2个回答

自从

\begin{aligned} Cov (Y, Z) & = E [(Y - E [Y]) (Z - E [Z])] \\ = E [(Y - \int_{0}^{2 π} \sin x d x) (Z - \int_{0}^{2 π} \cos x d x)] \\ = E [(Y - 0) (Z - 0)] \\ = E [Y Z] \\ = \int_{0}^{2 π} \sin x \cos x d x \\ = 0, \end{aligned}

$\begin{align} \operatorname{Cov}(Y, Z) &= E[(Y - E[Y])(Z - E[Z])] \\ &= E[(Y - {\textstyle \int}_0^{2\pi} \sin x \;dx)(Z - {\textstyle \int}_0^{2\pi} \cos x \;dx)] \\ &= E[(Y - 0)(Z - 0)] \\ &= E[YZ] \\ &= \int_0^{2\pi} \sin x \cos x \;dx \\ &= 0 , \end{align}$

相关性也必须为 0。

我真的很喜欢@whuber 的对称论点，不希望它作为评论丢失，所以这里有一些详细说明。

考虑随机向量，其中和，对于。那么，由于通过弧长参数化单位圆，所以均匀分布在单位圆上。特别是，的分布相同。但是之后 $(X, Y)$ $X = \cos(U)$ $Y = \sin(U)$ $U \sim U(0, 2 \pi)$ $\theta \mapsto (\cos(\theta), \sin(\theta))$ $(X, Y)$ $(-X, Y)$ $(X, Y)$

- Cov (X, Y) = Cov (- X, Y) = Cov (X, Y)

$- \text{Cov} (X, Y) = \text{Cov} (-X, Y) = \text{Cov} (X, Y)$

所以它必须是。 $\text{Cov} (X, Y) = 0$

只是一个美丽的几何论证。

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