假设我在车站等公共汽车。并假设公共汽车通常每 10 分钟到达车站。现在我将 λ 定义为每分钟一辆公共汽车的到达率。因此，λ = (1/10)。

现在我想计算下一分钟没有公共汽车到达的概率。我可以使用泊松分布和指数分布来做到这一点。

泊松

λ = 1/10

下一分钟 0 次到达的概率：P(X = 0) = 0.9048

指数的

λ = 1/10

我必须等待超过 1 分钟的概率：P(X>1) = 0.9048

注意：查看两个分布的预期值。对于泊松，我们得到每分钟到达的巴士平均数量 E(X) = λ = 0.10 辆巴士。对于指数，公共汽车到达的平均等待时间 E(X) = (1/λ) = 10 分钟

这两个分布都使用相同的参数这一事实可能是源于符号约定的巧合。毕竟，一个随机变量是离散的，而另一个是连续的。他们永远不应该为完全相同的东西建模。

然而，有时这并非巧合。这些参数可能意味着相似的事情，并且您可以在同一建模任务中使用这些分布中的任何一个的一个实例是当您使用泊松过程时。这在您对随机到达的事物进行建模的情况下（例如，您在手机上接收文本）很有用。假设您在时间开始测量。固定任何时间，您可以调用此时收到的总数并假设 这里的是以单位时间的调用次数来衡量的速率。$0$$t > 0$$N_t$

$$N_t \sim \text{Poisson}(\lambda t);$$ $\lambda$

您还可以查看文本之间的等待时间，并假设 这里也是一个速率（如果你在这个问题中以你的方式写密度）。每条短信的到达时间是部分和。$X_1, X_2, \ldots$

$$X_i \overset{iid}{\sim} \text{Exponential}(\lambda);$$ $\lambda$$S_n = \sum_{i=1}^n X_i$

在这种特殊情况下，这两个分布之间的关系如下：给定一个整数和一个时间， 的特殊情况下，这两个表达式都等于。$n$$t$

$$P(S_n \le t) = P(N_t \ge n).$$ $n = t = 1$$1 - e^{-\lambda}$

lambda 在某些情况下是可以互换的。假设我正在用Geyger 计数器测量放射性。在一种情况下，意味着我平均每秒获得 2 次点击，点击之间的平均时间是秒。每秒的点击次数来自泊松分布，点击之间的时间来自指数分布，两者都有。$\lambda=2$$1/2$$\lambda=2$

来自维基百科的这是否以简单的方式总结了这种关系？

如果对于每个 t > 0 时间间隔 [0, t] 中的到达次数遵循均值为 λt 的泊松分布，则到达间隔时间序列是独立且同分布的指数随机变量，均值为 1/λ。

参考：SM 罗斯 (2007)。概率模型简介（第 9 版）。波士顿：学术出版社。国际标准书号978-0-12-598062-3。第 307-308 页。