您试图找到与平均值的“典型”偏差。

方差是“与平均值的平均平方距离”。

标准差是它的平方根。

这使它成为与平均值的均方根偏差。

1. 为什么我们要使用平均平方偏差？是什么让方差变得有趣？除其他外，由于 关于方差的基本事实- 不相关变量之和的方差是各个方差的总和。（这在许多问题中都有涉及，例如 在 CrossValidated 上。这个方便的功能不共享，例如，平均绝对偏差。
2. 为什么要取平方根？因为那时它与原始观测值的单位相同。它从平均值测量一种特定的“典型距离”（如前所述，RMS 距离） - 但由于上述方差特性 - 具有一些不错的特征。

标准差是方差的平方根。

方差是数据与平均值的平均平方距离。由于平均值是总和除以总和的项目数，因此方差的公式为： 既然标准偏差只是它的平方根，标准偏差的公式是： 没有添加或更改任何内容这里的假设或方差，我们只是取方差的平方根，因为这就是标准差。

$$\text{Var}(X)=\text{E}[(X-\mu)^2] = \frac{\sum_{i=1}^N(x_i-\mu)^2}{N}$$
$$\text{S.D.}(X)=\sqrt{\text{Var}(X)} = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^N(x_i-\mu)^2}{N}}$$

首先要了解的是标准偏差（std）与平均绝对偏差不同。这两者定义了关于数据的不同数学属性。

与平均绝对偏差不同，标准偏差 (std) 对远离均值的值的权重更大，这是通过对差值进行平方来完成的。

例如，对于以下四个数据点：

$$\begin{array}{|c|c|c|} \hline Data (x)& |x - mean| & (x-mean)^2 \\ \hline 2 & 2 & 4\\ \hline -2 &2 &4\\ \hline -6 &6 &36\\ \hline 6 &6 &36\\ \hline \sum x =0 & \sum (|x-mean|) = 16 & \sum (x-mean)^2 = 80 \end{array}$$

平均绝对偏差 (aad)和$= 16/4 = 4.0$

标准差 (std) =$\sqrt{80/4} = \sqrt 20 = 4.47$

在数据中，有两个点距离均值 6 距离，两个点距离均值 2 距离。因此，4.47 的偏差比 4 更有意义。

由于总观察值总是，为了计算标准，我们不是用潜水，而是将总方差除以，并取其平方根，使其与原始数据具有相同的单位。$N$$\sqrt N$$N$

我同意您对标准偏差的定义可以用来衡量人口。然而，这是一个更难提出的概念。（而且我认为它也更难用于证明其他理论。）$\sigma= \dfrac{ \sqrt{ \sum\limits_{i=1}^n (x_i-\mu)^2} } {N}$

我不知道方差和标准差发明背后的确切历史，但它应该大致类似于：

1. 我们需要一个正数来衡量价差；让我们定义方差 =$\dfrac{ \sum\limits_{i=1}^n (x_i-\mu)^2} N$

2. 由于平方，这个方差看起来比原始值大得多；让我们取它的平方根来“撤销”平方的效果：$\sigma = \sqrt{\frac{\sum\limits_{i=1}^n (x_i-\mu)^2}{N}}$

所以现在我们有一个非常简单的关系，因此在平方根之下。$std = \sqrt{variance}$$N$