机器算法验证 - 两个加权随机变量的方差 - 吾爱随笔录

两个加权随机变量的方差

机器算法验证随机变量

2022-03-03 14:56:06

让：

随机变量 A 的标准差 $A =\sigma_{1}=5$

随机变量 $B=\sigma_{2}=4$

那么 A+B 的方差为：

$Var(w_{1}A+w_{2}B)= w_{1}^{2}\sigma_{1}^{2}+w_{2}^{2}\sigma_{2}^{2} +2w_{1}w_{2}p_{1,2}\sigma_{1}\sigma_{2}$

在哪里：

$p_{1,2}$ 是两个随机变量之间的相关性。

$w_{1}$ 是随机变量 A 的权重

$w_{2}$ 是随机变量 B 的权重

$w_{1}+w_{2}=1$

下图描绘了 A 和 B 的方差，因为 A 的权重从 0 变为 1，相关性为 -1（黄色）、0（蓝色）和 1（红色）。

替代文字

当相关性为 1 时，公式如何得出一条直线（红色）？据我所知，当时，公式简化为： $p_{1,2}=1$

$Var(w_{1}A+w_{2}B)= w_{1}^{2}\sigma_{1}^{2}+w_{2}^{2}\sigma_{2}^{2} +2w_{1}w_{2}\sigma_{1}\sigma_{2}$

如何以的形式表达？ $y=mx+c$

谢谢你。

2个回答

使用，计算 $w_1 + w_2 = 1$

\begin{aligned} Var (w_{1} A + w_{2} B) & = {(w_{1} σ_{1} + w_{2} σ_{2})}^{2} \\ = {(w_{1} (σ_{1} - σ_{2}) + σ_{2})}^{2} . \end{aligned}

$\eqalign{ \text{Var}(w_1 A + w_2 B) &= \left( w_1 \sigma_1 + w_2 \sigma_2 \right)^2 \cr &= \left( w_1(\sigma_1 - \sigma_2) + \sigma_2 \right)^2 \text{.} }$

这表明当时，方差与的关系图（在插图中横向显示）为中心的抛物线。任何抛物线的任何部分都不是线性的。使用和，中心位于：在绘制比例的图形下方。因此，您正在查看抛物线的一小部分，它看起来是线性的。 $\sigma_1 \ne \sigma_2$ $w_1$ $\sigma_2 / (\sigma_2 - \sigma_1)$ $\sigma_1 = 5$ $\sigma_2 = 4$ $-5$

当，方差是w_1的线性函数。在这种情况下，绘图将是一个完全垂直的线段。 $\sigma_1 = \sigma_2$ $w_1$

顺便说一句，你已经知道了这个答案，没有计算，因为基本原则意味着方差图不能是一条线，除非它是垂直的。毕竟，没有数学或统计禁止将 w_1 限制0 和 1 之间 w_1任何确定一个新的随机变量（随机变量 A 和 B 的线性组合），因此必须具有非负值因为它的方差。因此，所有这些曲线（即使扩展到的整个垂直范围）必须位于垂直轴的右侧。 这排除了除垂直行之外的所有行。 $w_1$ $0$ $1$ $w_1$ $w_1$

的方差图： $\rho = 1 - 2^{-k}, k = -1, 0, 1, \ldots, 10$

替代文字

它不是线性的。公式说它不是线性的。相信你的数学直觉！

由于比例，它仅在图中显示为线性，和。自己尝试一下：计算几个地方的斜率，你会发现它们不同。来夸大差异。 $\sigma_{1}=5$ $\sigma_{2}=4$ $\sigma_{1}=37$

这是一些R代码：

a <- 5; b <- 4; p <- 1
f <- function(w) w^2*a^2 + (1-w)^2*b^2 + 2*w*(1-w)*p*a*b
curve(f, from = 0, to = 1)

如果您想检查一些斜坡：

(f(0.5) - f(0.4)) / 0.1
(f(0.8) - f(0.7)) / 0.1

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