它们是相关的，但实际上在形式上并不如此相似。

在 beta 中，变量（及其补码）被提升到某个幂，但在二项式中，变量是幂（并且它也出现在二项式系数中）。

虽然函数形式看起来确实有些相似（一个中的术语与另一个中的术语相对应），但表示参数的变量和每个中的随机变量是不同的。这很重要；这就是为什么它们实际上根本不是一回事。

二项分布通常用于counts，或以缩放形式用于基于计数的比例（尽管您可以在纯粹实用的基础上将其用于其他有界离散随机变量）。它是离散的。

beta 分布是连续的，因此通常不用于计数。

例如，比较这两个函数：

$y = b^x,\, x=0,1,2,3,...$和$y = x^a,\, 0<x<1$.

这两个函数都是由相同形式的表达式定义的（某种形式的$c^d$)，但是变量和常量的角色互换了，域也不同。beta 和二项式之间的关系就像这两个函数之间的关系。

- 总结：不同的形式，不同的领域

这是一个简单的 beta 分布示例，$\text{beta}(1,1)$. 哪个二项分布做同样的工作？

或者考虑一个$\text{beta}(2,1)$; 很难找到看起来相似的二项式。这是一个尝试：

整个 beta pdf 位于二项式 pf 的前两个绿色尖峰之间，尽管它们不能真正显示在同一个图上，因为 y 轴测量不同的东西。

虽然从某种意义上说它们都是左倾斜的形状有点相似，但它们确实完全不同，并且用于不同的事物。

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这是一个挑战：

为了$X_1\sim\text{beta}(1,1)$和一个$X_2\sim\text{beta(3,2)}$，找到可以同时合理准确地（比如说在$c=(0.95, 1.05)$ 乘以具有相同均值和方差或均值和范围（您选择）的正确概率（给或取），但也近似地再现了处于这三个子区间的概率：（a）$(1/\pi,1/e)$, (b)$(\exp(-\frac{1}{2}),2/\pi)$, 和 (c)$(\exp(-3),1/\pi^2)$

beta 用于做很多事情，包括模型连续比例，作为先验$p$二项式的参数，它是均匀顺序统计的分布（并且可以用于推导其他连续分布的顺序统计分布，用作二项式的混合分布$p$（产生 beta 二项分布），在项目管理中对任务完成时间进行建模，以及许多其他事情。