机器算法验证 - 找到泊松分布的最大似然估计量的方差 - 吾爱随笔录

找到泊松分布的最大似然估计量的方差

机器算法验证方差最大似然泊松分布

2022-03-04 23:01:42

如果 $K_1, \dots, K_n$ 是具有参数 $\beta$ 的 iid Poisson 分布，我计算出最大似然估计是

\hat{β} (k_{1}, \dots, k_{n}) = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} k_{i}

$\hat\beta (k_1, \dots, k_n) = \frac{1}{ n} \sum_{i=1}^n k_i$ 用于数据

k_{1}, \dots, k_{n}

$k_1, \dots, k_n$ 。因此我们可以定义相应的估计量

T = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} K_{i} .

$T = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n K_i .$ 我的问题是你如何计算这个估计量的方差？

特别是，由于每个 $K_i$ 遵循带有参数 $\beta$ 的泊松分布，我知道，根据泊松的属性，分布 $\sum_{i=1}^n K_i$ 将遵循带有参数的泊松分布 $n \beta$ ，但是 $T$ 的分布是什么？

2个回答

$T$ 是分布的……作为一个按 $n$ 缩放的泊松变量。因此 $T$ 的方差为 $1/n^2 \times n\beta$ 。

记住 $$ \mathbb{Var}\left(\sum_{i=1}^n a_i X_i\right) = \sum_{i=1}^n a_i^2\,\mathbb{Var}(X_i) + 2 \sum_{1\leq i<j\leq n} a_i\,a_j\,\mathbb{Cov}(X_i X_j) \, , $$ 总是。但是，如果 $X_i$ 是独立的，那么 $\mathbb{Cov}(X_i X_j)$ 的值是多少？这就是您回答问题所需的全部内容。

V a r (\sum_{i = 1}^{n} a_{i} X_{i}) = \sum_{i = 1}^{n} a_{i}^{2} V a r (X_{i}) + 2 \sum_{1 \leq i < j \leq n} a_{i} a_{j} C o v (X_{i} X_{j}),

$\mathbb{Var}\left(\sum_{i=1}^n a_i X_i\right) = \sum_{i=1}^n a_i^2\,\mathbb{Var}(X_i) + 2 \sum_{1\leq i<j\leq n} a_i\,a_j\,\mathbb{Cov}(X_i X_j) \, ,$ always. But, if the

X_{i}

$X_i$ 's are independent, what is the value of

C o v (X_{i} X_{j})

$\mathbb{Cov}(X_i X_j)$ ? That's all you need to answer the question.

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