我需要在方差列表中获得某种“平均值”，但无法提出合理的解决方案。在这个线程中有一个关于毕达哥拉斯三种方法（算术、几何和谐波）之间差异的有趣讨论；但是，我仍然认为他们中的任何一个都不是一个好的候选人。有什么建议么？

PS 一些上下文 - 这些方差是来自受试者的样本方差，每个受试者都经历了相同的实验设计，样本量大致相同。换句话说，有抽样方差 , , ...,，对应于这主题。已经在人群层面进行了荟萃分析。我需要获得某种“平均”或“汇总”样本方差的原因是我想在元分析后用它来计算诸如ICC之类的指标。$n$$k$$n$$\sigma_1^2$$\sigma_2^2$$\sigma_n^2$$n$

PPS 为了使讨论更具体，让我用 R 中的以下示例来解释这个问题：

library(metafor)
dat <- get(data(dat.konstantopoulos2011))
dat$district <- as.factor(dat$district)
dat$school <- as.factor(dat$school)

在数据集中，每所学校的表现得分存在差异：

str(dat)
Classes ‘escalc’ and 'data.frame':  56 obs. of  6 variables:
 $ district: Factor w/ 11 levels "11","12","18",..: 1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 ...
 $ school  : Factor w/ 11 levels "1","2","3","4",..: 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 ...
 $ year    : int  1976 1976 1976 1976 1989 1989 1989 1989 1994 1994 ...
 $ yi      : atomic  -0.18 -0.22 0.23 -0.3 0.13 -0.26 0.19 0.32 0.45 0.38 ...
 $ vi      : num  0.118 0.118 0.144 0.144 0.014 0.014 0.015 0.024 0.023 0.043 ...

假设我们使用分层或混合效应模型执行元分析：

$y_{ij} = a + \alpha_i + \beta_j + \epsilon_{ij}$

其中，和个学校和个学区的随机效应是已知高斯分布的测量误差。这个模型可以分析如下：$\alpha_i$$\beta_j$$i$$j$$\epsilon_{ij}$$N(0,v_{ij})$

(fm <- rma.mv(yi, vi, random = list(~1 | district, ~1 | school), data=dat)) 

为两个方差分量呈现以下方差估计：

Multivariate Meta-Analysis Model (k = 56; method: REML)
Variance Components: 

            estim    sqrt  nlvls  fixed    factor
sigma^2.1  0.0814  0.2853     11     no  district
sigma^2.2  0.0010  0.0308     11     no    school

结果中的两个方差 sigma^2.1 和 sigma^2.2 对应于两个随机效应变量（地区和学校）。

我想计算地区的 ICC，这就是为什么我想首先获得测量项的汇总方差。由于总方差为$v_{ij}$$\epsilon_{ij}$

$Var(y_{ij})= Var(\alpha_i + \beta_j + \epsilon_{ij}) = \sigma_1^2 + \sigma_2^2+v_{ij}$

我最初的（也是简单的）方法是只使用算术平均值：

$\frac{\sigma_1^2}{\sigma_1^2 + \sigma_2^2+mean(v_{ij})}$

但我不确定算术平均值在这种情况下是否合适。$mean(v_{ij})$