参考先验改进了 Jeffrey 的先验技术，通过将问题分解为一系列有条件的低维问题，可以计算出合理的非信息先验，从而找到多参数先验。目标是获得非信息性先验。它需要进一步的证据来证明特定设置的参考先验会导致适当的后验分布（https://www.jstor.org/stable/3085905）。

我将为您举一个线性回归模型的示例，该模型具有模式化的方差-协方差矩阵和正态误差。令，其中表示均值函数中的参数，表示方差函数。给定的非信息性先验将与 1 成正比（即在实线上均匀）。因此我们可以分解先验并构造参考先验，其中$\boldsymbol{\theta} = (\boldsymbol{\beta}, \boldsymbol{\phi})$$\boldsymbol{\beta}$$\boldsymbol{\phi}$$\boldsymbol{\phi}$$\boldsymbol{\beta}$$\pi^R\left(\boldsymbol{\theta}\right)=\pi^R\left(\boldsymbol{\beta}|\boldsymbol{\phi}\right)\pi^R\left(\boldsymbol{\phi}\right),$$\pi^R\left(\boldsymbol{\beta}|\boldsymbol{\phi}\right)=1$。接下来，使用 Jefferys 规则先验计算，但对于通过集成似然 注意，的封闭形式解，因此获得参考先验并不困难。困难在于证明后验密度总是正确的，因此您可以使用“自动”非信息先验来执行贝叶斯分析。$\pi^R\left(\boldsymbol{\phi}\right)$

$$\begin{eqnarray*} L^1 \left(\boldsymbol{\phi}\right) = \int_{\mathbb{R}^p} L(\boldsymbol{\theta}) \pi^R\left(\boldsymbol{\beta}|\boldsymbol{\phi}\right) d \boldsymbol{\beta}. \end{eqnarray*}$$ $L^1 \left(\boldsymbol{\phi}\right)$