如果您使用与二项式似然函数共轭的先验分布，这很容易做到。当得到的后验分布与先验分布类型相同时，则称先验分布和似然性是共轭的。这意味着，如果您有二项式数据，则可以在获得 beta 后验之前使用 beta。进行贝叶斯更新不需要共轭先验，但它们使计算更容易，因此如果可以的话，它们很好用。

Beta 先验有两个形状参数来确定它的外观，并表示为 Beta(α, β)。将 p（成功概率）的先验值设为统一等效于使用两个参数都设置为 1 的 Beta 分布。

为了获得后验，只需使用贝叶斯规则：

后验先验 x 似然$\propto$

后验与似然乘以先验成正比。使用共轭分布的好处是贝叶斯更新真的和基本代数一样简单。我们采用二项式似然函数的公式，

$Binomial Likelihood \propto p^x (1-p)^{n-x}$

其中 x 是 n 次试验中的成功次数。然后将其乘以带有α和β形状参数的β先验公式，

$Beta Prior \propto p^{\alpha-1} (1-p)^{\beta-1}$

得到以下后验公式，

$Beta Posterior \propto p^x(1-p)^{n-x}p^{\alpha-1}(1-p)^{\beta-1}$

您会看到我们将具有相同基数的项相乘，这意味着可以将指数相加。所以后验公式可以改写为，

$Beta Posterior \propto p^xp^{\alpha-1}(1-p)^{n-x}(1-p)^{\beta-1}$

这简化为，

$Beta Posterior \propto p^{x+\alpha-1}(1-p)^{n-x+\beta-1}$

这相当于：取先验，将成功和失败添加到不同的指数中，瞧。换句话说，你取先验，Beta(α, β)，然后将数据中的成功 x 添加到并将失败的 n – x 添加到，然后你的后验 Beta( +x, +nx)。$\alpha$$\beta$$\alpha$$\beta$

当您以 Beta(1,1) 作为先验开始时，后验将具有二项式似然的确切形状，并且后验写为 Beta(1+x,1+nx)。

图表

如果您从制服之前的 Beta(1,1) 开始，它看起来像这样：

如果您在 25 次试验中有 13 次成功，则新的后验为 Beta(1+13,1+12) 或 Beta(14,13)，如下所示：

在我的博客上，有代码可以制作这样的图表和其他图表，这里。