1. 不，是比更好的估计器，但不一定是最好的（不管这意味着什么！）$\theta^*$$\hat\theta$
2. 如果估计量没有方差，那么它的风险是无限的，并且不能保证具有有限的风险（尽管这可能会发生，正如Horst Grünbusch在他的评论中指出的那样）。$\theta^*$
3. 在的有限方差下，不等式是严格的，因为方差分解为期望条件方差加上条件期望方差的总和 除非预期的条件方差为零，这相当于的函数。$\hat\theta$ $$\text{var}(\hat\theta)=\mathbb{E}_T[\text{var}(\hat\theta|T)]+ \text{var}_T(\mathbb{E}[\hat\theta|T])=\mathbb{E}_T[\text{var}(\theta|T)]+\text{var}_T(\theta^*)$$ $\hat\theta$$T$

1. 请注意，足够的统计数据并不是唯一的。琐碎地，整个数据就足够了，但是以它们为条件的估计器不会改变任何东西。因此，仅仅一个足够的统计数据是不够的（双关语！）具有最小的均方误差。请参阅 Lehmann-Scheffé-theorem，它在证明中使用 Rao-Blackwell 定理，以获得充分的充分性（实际上是充分和完备的）。

2. 如果两者都是无限的，则弱不等式总是正确的。但是，作为一个反例，你可以构造一个足够的统计量，它不是的函数，但仍然具有无限方差（这样只有成立）。$T$$\leq$

以为例，这是一个移位的分布随机变量，其中和，作为另一个独立随机变量。估计的参数是。原始估计是。一个足够的统计数据当然是。Rao-Blackwell 估计量和都具有无限方差。因此，不平等将保持微弱。另一方面，不仅仅是$C_1 \sim t_2 + \mu$$t_2$$E(C_1) = \mu$$Var(C_1) = \infty$$C_2 \sim t_2$$\mu$$\hat{\theta} = C_1 + C_2$$C_1$$E(\hat{\theta}|C_1)=C_1$$\hat{\theta}$$C_1+C_2$$C_1$：它涉及另一个随机变量，因此这与您问第三个问题的最后一句话相矛盾。事实上，一些教科书承认原始估计量的方差无限大，但反过来又不能说明何时成立。$<$

3. 如果是的函数，您可以通过分解定理证明对于已经足够了。所以我们最终还是没有改进。除了这种情况，不等式是严格的，这就是定理的重要断言。$\hat{\theta}$$T$$\hat{\theta}$$\theta$