模型有一个完整的充分统计量当且仅当最小充分统计量是完整的（根据Lehmann “完整性和巴苏定理的解释”）。这意味着您不能以您想要的方式和正如论文所说（第二栏的第一个完整段落）$\theta$${\cal P}_\theta$ $T_1(X)$$T_2(X)$

另一方面，完全充分统计量的存在等价于最小充分统计量的完备性，因此是模型的一个性质。${\cal P}$

也就是说，在任何给定的模型中，如果是完全充分的并且是充分的，也是完全充分的。$T_2$$T_1$$T_1$

这两个定理说

1/ Rao-Blackwell：以任何足够的统计量为条件将减少方差。这遵循总方差定律

2/ Lehmann-Scheffé：在模型具有完全充分统计量的特殊情况下，您将获得一个完全有效的估计量。

在 Poisson 情况下，最小充分统计量是完整的，并且两个估计量相同。$\bar X$

这里有一个有趣的例子，说明 Rao-Blackwell 类型的估计器不是完全有效的（甚至不可接受）。该模型是用于已知和未知。Cramér-Rao 界不适用，因为的范围取决于。一个充分的统计量是对，并且任何观察都是无偏估计量，但是甚至不是两个分量的最佳线性函数的充分统计。$X\sim U[\theta(1-k),\theta(1+k)]$$k$$\theta$$X$$\theta$$(\min X_1, \max X_n)$$E[X_1|(\min X_1, \max X_n)]$

还有几点可以填补潜在的空白：

1. 这留下了一个悬而未决的问题，即是否可能存在使用 Lehmann-Scheffé 定理无法获得的 Cramér-Rao 界的无偏估计量。没有（在相当好的模型中）：任何达到界限的模型都有一个形式为 对于某些（其中是信息），在这种情况下既是的完全充分统计量，又是最小方差无偏估计量。

   $$\frac{\partial \ell}{\partial \theta}=I(\theta)(g(x)-\theta)$$ $g()$$I()$$g(x)$$\theta$

2. 正如@AdamO 所指出的那样，这些都不能整齐地转化为渐近：有渐近无偏估计器在一个点（霍奇斯超高效估计器）甚至在密集的测量零集（Le Cam 对霍奇估计器的扩展）上击败了渐近信息约束。你能做的最好的是局部渐近极小极大定理，它说你不能在直径为$\theta_0$$O(n^{-1/2})$