和的上尾相关性及其边缘分布 F 和 G 的定义为： （Embrechts 等人（2001））。假设随机变量 X 达到极大值，则 Y 达到极大值的概率。因此，可以理解为，λ越接近 1，X 达到高值和 Y 也达到大值之间的联系越紧密。$X$$Y$$\lim_{u \to 1} P\{ Y>G^{-1}(u)|X>F^{-1}(u))=\lambda_u$$\lambda$

在极端情况下，判断 copulas 是否表现出尾部依赖性并不难：重要的是（两个）变量在图的角落是否表现得比在中心更接近。

高斯 copula 没有尾依赖 - 尽管随机变量高度相关，但似乎没有特殊关系，任何变量达到大值（在图表的角落）。

当将该图与来自相同边缘但具有 T-2 copula 的模拟图进行比较时，尾部依赖性的缺失变得明显。

T-copulas 具有尾相关性，并且相关性随着相关性的增加而增加，随着自由度的数量而减少。如果模拟更多的点，从而覆盖单位正方形的更大部分，我们几乎会在右上角和左下角看到一条细线。但即使在图表上，很明显在右上象限和左下象限——即两个变量都达到非常低或非常高的值——这两个变量似乎比在身体中更密切相关。

金融市场往往表现出尾部依赖性，尤其是较低的尾部依赖性；例如，正常时期主要股票收益的相关性约为 0.5，但在 2008 年 9 月/10 月，一些货币对的相关性超过 0.9——它们都大幅下跌。高斯联结在危机之前用于为信贷产品定价，由于它没有考虑尾部依赖，它低估了许多房主无力支付时的潜在损失。房主的付款可能被理解为随机变量 - 在许多人开始难以支付抵押贷款的那一刻，它们被证明是高度相关的。由于这些违约与不利的经济环境密切相关，因此这些违约表现出尾部依赖性。

PS：从技术上讲，这些图片显示了由 copula 和正态边缘生成的多元分布。

尾部依赖性是指两个变量之间的相关性随着分布尾部（其中一个或两个）的“进一步”而增加。比较 Clayton copula 和 Frank copula。

克莱顿有左尾依赖性。这意味着，当您进一步向左尾（较小的值）移动时，变量变得更加相关。弗兰克（以及高斯）是对称的。如果相关性为 0.45，则在整个分布范围内为 0.45。

经济系统往往表现出尾部依赖性。例如，承担再保险公司的信用风险。当整体损失正常时，再保险公司 A 或再保险公司 B 是否会拖欠向保险公司的付款可能看起来不相关，或者相关性非常弱。现在想象一下发生了一系列伤亡事件（如飓风丽塔、威尔玛、艾达等）。现在整个市场一个接一个地受到巨大的付款请求的冲击，这可能导致流动性问题，由于问题的范围和被保险人的同时需求，许多再保险公司将面临流动性问题。他们的支付能力现在更加相关。这是一个需要右尾依赖的 copula 的例子。

至少在我的理解中，尾部依赖是向统计背景有限的人解释的。

想象一下，您有两个变量 X 和 Y。每个变量都有 100,000 个观察值。这些观察在某种意义上是联系在一起的。也许它们是使用 copula 生成的，或者您碰巧拥有两只强相关股票在 100,000 个时间段内的回报值。

让我们看一下 X 的最差 1% 的观测值。那是 1,000 个观测值。现在查看这 1,000 个观测值中 Y 的相应值。如果 X 和 Y 是独立的，您会期望 10 个观察值，这 1,000 个观察值是 Y 的最差 1% 值的一部分。

当 X 和 Y 的值在尾部不独立时，实际观察次数可能高于 10，这就是我们所说的尾部依赖。