爆炸性 AR(MA) 过程是固定的吗？

机器算法验证 时间序列 有马 平稳性
2022-03-30 13:42:01

根据时间序列 AW van der Vaart 中的定理 8.8，一个 ARMA 过程 有一个唯一的平稳解与如果在复单位圆上没有根。这意味着具有的爆炸过程是一个平稳过程具有平稳解。

ϕ(L)Xt=θ(L)ϵt
Xt=ψ(L)ϵtψ=θ/ϕϕρ>1
Xt=ρXt−1+ϵt
Xt=∑i=1∞ρ−iϵt+i

现在确实因此可以通过使用这种表示来证明弱平稳性。∑i=1∞ρ−i<∞

但是，在 stackexchange 上，我看到很多问题/答案表明上述过程不是固定的（例如，参见Are爆炸性 ARMA(1, 1) 过程固定吗？，非固定：大于单位根）。特别是，后一个问题的公认答案声称该过程是非平稳的，通过模拟一系列并显示它显示出爆炸性的趋势行为。

我认为协调我上面提到的定理和（非平稳：大于单位根）的公认答案中的情节的唯一方法如下：爆炸过程确实是平稳但非遍历的，即通过观察爆炸过程的单个无限长样本路径， 我们无法找到的统计属性，例如XtE(Xt)=μ

limt→∞1t∑t=1Xt≠EXt

这个读法正确吗？

2个回答

是的，在 AR(1) 过程中 不过我不确定你会喜欢它： 注意索引：，您需要DeLorean才能在实践中使用它。ρ>1

Xt=ρXt−1+εt
Xt=−∑k=1∞1ρkεt+k
t+k

当时，该过程不可逆。ρ>1

首先，我们可以将模型写成逆 AR(1) 形式：

Xt=1ρXt+1−ϵt+1ρ.

假设您现在使用过滤器定义可观察值：

Xt=−∑k=1∞ϵt+kρk.

在这种情况下，您可以通过替换来确认原始 AR(1) 形式和反转形式都成立。正如Michael在对相关问题的出色回答中指出的那样，这意味着除非我们根据定义排除此解决方案，否则无法识别模型。

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