比率的“危险”部分是倒数的分母

如果您在回归模型中有一个涉及两个解释变量的比率项，则可以将其写为交互项：

现在，涉及解释变量的交互项本身并没有什么问题或危险$x_{1,i}$，事实上，我们在许多回归模型中都有这样的交互项。但是，可以说有一个模型项会反转解释变量是非常“危险的”$x_{2,i}$--- 如果这个值对于某些数据点来说很小，那么这个解释性术语将在这些数据点“爆炸”，这通常会导致它们具有较大的正值或负值，从而在回归中产生高杠杆点（即，它们会影响OLS 非常适合）。

小心用过宽的笔刷描绘这种情况，因为这种术语并不总是危险的。事实上，如果解释变量$x_{2,i}$已经是“爆炸性的”（例如，因为它已经是均值接近于零的稳定随机变量的倒数），那么反演实际上可能使其更稳定而不是更具爆炸性。作为一般规则，如果我们反转具有相对较低峰度且均值接近零的随机变量，我们将倾向于得到具有高峰度（即极值概率高）的随机变量，反之亦然。

在这里，我们集中讨论了涉及倒置解释变量的术语。当然，也有可能与$x_{1,i}$可能会加剧该术语的爆炸性，特别是如果$x_{1,i}$倾向于使用较小的值$x_{2,i}$. 但正如您所见，“危险”部分实际上是倒置。比率项是否“危险”很大程度上取决于倒置项是否$1/x_{2,i}$本身就是“危险的”。如果$x_{2,i}$有一些小的值，那么这个术语将非常具有爆炸性并产生高杠杆数据点。

其实，原因很简单。假设您从引导程序中多次计算 CV。简历是$\frac{SD}{Mean}$. 现在假设平均值不接近于零，但可能是百万分之一。然后发生的情况是，我们可能会得到一个 CV，它可能是其他 CV 值的中位数的 -1000 倍。因此，随机变量比率的问题在于，我们拥有的数据越多，平均值可能越狂野，因为分母中的除以几乎为零的问题。

编辑：对于我在这里粗略总结的更准确的示例，请参阅：Brody JP、Williams BA、Wold BJ、Quake SR (2002) DNA 微阵列数据分析中的意义和统计错误。Proc Natl Acad Sci 99（20）：12975–12978。