出于线性代数的原因，它被写成转置。

考虑平凡的秩一情况，其中和是单位向量。该表达式告诉您，作为线性变换，将向量设为的正交补集设为零。您可以看到转置是如何自然显示的。$A = uv^T$$u$$v$$A$$v$$u$$v$

SVD 对此进行了概括，它告诉您任何线性变换都是此类 rank-one 映射的总和，此外，您可以将总和安排为正交的。具体来说，分解 表示，对于一些上（更一般地，任何可分离希尔伯特空间上的紧算子），你可以找到正交集和使得

1. $\{v_i\}$跨越。$\ker(A)^{\perp}$

2. $A$将带到，对于每个。$v_i$$\sigma_i u_i$$i$

这种情况的一个特殊情况是正半定矩阵的谱分解，其中和是的特征向量--- 和 u_i是秩一正交投影。对于 Hermitian， “几乎等于” ---如果相应的特征值为负，则必须取以便。$A$$U = V$$u_i$$A$$u_i u_i^T$$A$$U$$V$$u_i = -v_i$$\sigma_i \geq 0$

$V^T$是 V 的 Hermitian 转置（复共轭转置。$V$

$V$本身包含 A 的右奇异向量，的（正交）特征向量；到那个程度：。如果我们写，那么将不再代表的特征向量。此外，将 SVD 定义为：允许我们直接使用和的意义上对矩阵进行对角化，因为其中是的秩（即） . 最后使用$A$$A^TA$$A^TA = VS^2V^T$$W = V^T$$W$$A^TA$$A = USV^T$$U$$V$$Av_i = s_iu_i$$i\leq r$$r$$A$$AV = US$$USV^T$还简化了我们在对称矩阵的情况下的计算，在这种情况下和将重合（直到一个符号），它允许我们将奇异分解直接链接到特征分解。为了清楚起见：“是的，使用而不是有点习惯”，但很有帮助。$A$$U$$V$$A = Q \Lambda Q^T$$V^T$$W = V^T$

我的回答比其他人都傻...

可以说，W = V_Transpose

然后将 SVD 写为 A = U Σ W

有了这个，您要求读者再记住一个变量（），但是对于一个简单的表达式，因为是不值得的，IMO。$W$$V^T$