机器算法验证 - 标准偏差的二维模拟？ - 吾爱随笔录

机器算法验证标准差空间的

2022-02-08 09:50:41

考虑以下实验：给一组人一个城市列表，并要求他们在世界地图（否则未标记）上标记相应的位置。对于每个城市，您将获得大致以各自城市为中心的分散点。一些城市，比如伊斯坦布尔，会比其他城市表现出更少的分散，比如莫斯科。

假设对于给定的城市，我们得到一组 2D 样本，表示城市在 test 分配的地图上的位置（例如在本地坐标系中）主题。我想将此集合中点的“分散”量表示为适当单位（公里）的单个数字。 $\{(x_i, y_i)\}$ $(x, y)$ $i$

对于 1D 问题，我会选择标准偏差，但是对于上述情况，是否可以合理选择 2D 模拟？

4个回答

您可以使用的一件事是距中心点的距离度量，例如点的样本均值，或者可能是观察点的质心。那么分散的度量将是与该中心点的平均距离： ${\bf c}=(c_{1},c_{2})$ $(\overline{x}, \overline{y})$

\frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} | | z_{i} - c | |

$\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} || {\bf z}_{i} - {\bf c} ||$

其中。距离度量有许多潜在的选择，但范数（例如欧几里德距离）可能是一个合理的选择： ${\bf z}_{i} = \{ x_{i}, y_{i} \}$ $L_{2}$

| | z_{i} - c | | = \sqrt{(x_{i} - c_{1})^{2} + (y_{i} - c_{2})^{2}}

$|| {\bf z}_{i} - {\bf c} || = \sqrt{ (x_{i}-c_{1})^{2} + (y_{i}-c_{2})^{2} }$

关于点模式空间分布的度量的一个很好的参考是犯罪统计手册（特别是对于这个问题，第 4 章会很有趣）。与 Macro 建议的度量标准类似，标准距离偏差类似于 2D 标准偏差（唯一的区别是您将在 Macro 给出的第一个公式中除以“n-2”而不是“n”）。

您的示例实验实际上让我想起了一些研究如何评估地理罪犯剖析，因此这些作品中使用的指标可能很有趣。特别是精确度和准确度这两个术语被大量使用，并且与研究相关。猜测可能有一个小的标准偏差（即精确），但仍然具有非常低的准确度。

我最近实际上遇到了类似的问题。听起来您想要一种方法来测量点在区域上的分散程度。当然，对于给定的测量，您必须意识到如果所有点都在一条直线上，则答案为零，因为没有二维变化。

根据我所做的计算，这就是我想出的：

\sqrt{S_{x x} S_{y y} - S_{x y} ²}

$\sqrt{S_{xx}S_{yy}-S_{xy}²}$

在这种情况下，Sxx 和 Syy 分别是 x 和 y 的方差，而 Sxy 有点像 x 和 y 的混合方差。

详细来说，假设有n个元素，表示x的平均值，表示y的平均值： $x_μ$ $y_μ$

S_{x x} = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} (x - x_{μ}) ²

$S_{xx}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (x-x_μ)²$

S_{y y} = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} (y - y_{μ}) ²

$S_{yy}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (y-y_μ)²$

S_{x y} = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} (x - x_{μ}) (y - y_{μ})

$S_{xy}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (x-x_μ)(y-y_μ)$

希望这对你有用。

此外，如果您想知道如何在更高维度上执行此操作，例如在 4 个维度上测量体积扩展或 surteron 体积，您必须形成这样的矩阵：

Sxx Sxy Sxz ...

Syx Syy Syz ...

Szx Szy Szz ...

………………

并继续您需要的许多维度。您应该能够根据上面提供的定义计算出 S 值，但对于不同的变量。

矩阵形成后，取行列式，求平方根，就大功告成了。

我认为您应该使用“马氏距离”而不是欧几里得距离范数，因为它考虑了数据集的相关性并且是“尺度不变的”。链接在这里：

您也可以使用“半空间深度”。它有点复杂，但具有许多吸引人的特性。给定点 a 相对于数据集 P 的半空间深度（也称为位置深度）是 P 位于由通过 a 的线确定的任何闭合半平面内的最小点数。以下是链接：

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