“稳定分布”是一种特定类型的位置尺度分布族。稳定分布的类别由两个实数参数化，稳定性\ 和偏度。$\alpha\in(0,2]$ $\beta\in[-1,1]$

维基百科文章中引用的结果解决了这个关于密度函数乘积下闭包的问题。当的稳定分布的密度时，则渐近$f$$\alpha \lt 2$

对于一个显式给定的函数，其细节无关紧要。（特别是，或所有负将非零。）因此，任何两个这样的密度的乘积将与在至少一条尾巴。由于，这个产品（重整化后）不能对应于同一稳定族中的任何分布。$g$$g$$x$$x$$|x|^{-2(1+\alpha)}$$2(1+\alpha)\ne 1+\alpha$

（事实上​​，因为对于任何可能的，任何三个这样的密度函数的乘积甚至都不能是密度函数任何稳定分布。这破坏了将产品闭合的想法从单个稳定分布扩展到一组稳定分布的任何希望。）$3(1+\alpha) \ne 1+\alpha^\prime$$\alpha^\prime\in(0,2]$

唯一剩下的可能性是。这些是正态分布，对于位置和尺度参数和成正比。很容易检查两个这样的表达式的乘积是否具有相同的形式（因为 x 中的两个二次形式之和是的另一个二次形式）。$\alpha=2$$\exp(-(x-\mu)^2/(2\sigma^2))$$\mu$$\sigma$$x$$x$

那么，唯一的答案是，正态分布族是唯一的密度闭合稳定分布的乘积。

我知道这是一个部分答案，我不是专家，但这可能会有所帮助：如果两个单峰 pdf 之一是对数凹的，那么它们的卷积是单峰的。由于Ibragimov (1956)，通过这些注释。显然，如果两者都是对数凹的，那么卷积也是对数凹的。

至于产品关闭，我所知道的产品分布的唯一“干净”结果是这个 math.se 答案中描述的极限定理。

这些的截断版本怎么样？有界均匀分布是其形状参数的极限情况，据我所知，它们是单峰和对数凹的，因此它们具有单峰、对数凹卷积。我对他们的产品一无所知。当我本周晚些时候有更多时间时，我可以尝试运行一些模拟，看看我是否得到截断错误分布的对数凹积。也许Govindarajulu (1966)会有所帮助。

我不确定交叉发布的政策是什么，但似乎 math.se 的人也可以帮助你。出于好奇，您是否试图从概率分布中构建代数结构？