这个学期我正在教一门关于几个变量和向量微积分的函数集成的课程。这门课由大多数经济学专业和工程专业的学生组成，也有少数数学和物理专业的人。上学期我教过这门课，我发现很多经济学专业的学生下半年都比较无聊。我能够通过使用联合分布的随机变量进行一些计算来激发多重积分，但对于课程的向量分析部分，我能想到的唯一动机是基于物理学。
所以我想知道是否有人知道向量微积分的任何主要定理的统计/概率解释：格林定理、斯托克斯定理和散度定理。部分问题在于向量场在概率论中似乎并不经常出现，更不用说散度、梯度或旋度了。几天前，我还在 math.stackexchange 上发布了这个问题，但我仍在寻找更多想法。
您可以研究的一个例子是准可能性。McCullagh & Nelder: Generalized Linear Models 中对这些的讨论以一种基本的方式使用（对于理论部分）梯度和路径积分！见那本书的第 9 章。
我怀疑许多统计学家将不得不使用矢量微积分，因为它是为物理和工程学教授的。但是对于这里的价值是一些可以使用它的主题，至少是切线的。这里的基本主题是来自复分析的全纯函数，由调和函数组成，通过柯西黎曼方程与斯托克斯和格林定理密切相关。可以通过检查其域的内部及其边界来研究这些函数。
概率流。这不仅适用于量子力学。通常，在研究平滑变化的时变概率分布时会出现概率扩散。这包括经典系统的随机版本，例如热方程、流体动力学的 Navier Stokes、量子力学的波动方程等。方程的例子包括Fokker-Planck 方程和Kolmogorov Backwards/Forwards方程涉及散度，这反过来又涉及热方程、费南-卡克积分、狄利克雷问题和格林函数。这里的关键词是复调和函数，满足均值性质，这又是格林积分定理和斯托克斯定理的结果。一个经典的例子是计算封闭区域扩散的退出时间，这简化为评估表面边界上的积分并利用该区域内的谐波。
这里的主要例子是涉及布朗运动的问题，通常是广泛的Ito 扩散问题。关于这方面的一本精彩（而且古怪！）的书是传奇人物 Kai Chung 的Green、Brown 和 Probability。
概率的分解定理是隐含的斯托克斯定理，因为它分解了一个 3 维概率度量到包围其支持的表面的边界上。
在统计力学和马尔可夫随机场中，电流形式的守恒很普遍。Ising 模型，尤其是在临界状态下，及其相关模型可以从离散谐波和全纯函数的角度进行研究。从 Cauchy Riemann 方程中，人们恢复了 Green 定理和 Stokes 定理，因为电流既没有发散又没有卷曲，这共同意味着基础场是全纯的。Smirnov、Chelkak 和 Dominil-Copin的工作对此有很好的参考。