试试看重尾 Lambert W x F或倾斜 Lambert W x F分布（免责声明：我是作者）。在 R 中，它们在LambertW包中实现。
相关文章：
与具有固定自由度的 Cauchy 或 student-t 分布相比，一个优势是可以从数据中估计尾部参数——因此您可以让数据决定存在哪些矩。此外，Lambert W x F 框架允许您转换数据并消除偏斜/重尾。值得注意的是，OLS 不需要或的正态性。但是，对于您的 EDA，这可能是值得的。yX
以下是应用于股票基金回报的 Lambert W x Gaussian 估计示例。
library(fEcofin)
ret <- ts(equityFunds[, -1] * 100)
plot(ret)
回报的汇总指标与 OP 的帖子中的相似（不是极端）。
data_metrics <- function(x) {
c(mean = mean(x), sd = sd(x), min = min(x), max = max(x),
skewness = skewness(x), kurtosis = kurtosis(x))
}
ret.metrics <- t(apply(ret, 2, data_metrics))
ret.metrics
## mean sd min max skewness kurtosis
## EASTEU 0.1300 1.538 -18.42 12.38 -1.855 28.95
## LATAM 0.1206 1.468 -6.06 5.66 -0.434 4.21
## CHINA 0.0864 0.911 -4.71 4.27 -0.322 5.42
## INDIA 0.1515 1.502 -12.72 14.05 -0.505 15.22
## ENERGY 0.0997 1.187 -5.00 5.02 -0.271 4.48
## MINING 0.1315 1.394 -7.72 5.69 -0.692 5.64
## GOLD 0.1098 1.855 -10.14 6.99 -0.350 5.11
## WATER 0.0628 0.748 -5.07 3.72 -0.405 6.08
大多数系列清楚地显示出非正态特征（强偏度和/或大峰度）。让我们使用矩估计器IGMM（
library(LambertW)
ret.gauss <- Gaussianize(ret, type = "h", method = "IGMM")
colnames(ret.gauss) <- gsub(".X", "", colnames(ret.gauss))
plot(ts(ret.gauss))
时间序列图显示的尾部更少，并且随着时间的推移也更稳定的变化（虽然不是恒定的）。在高斯化时间序列上再次计算指标，得到：
ret.gauss.metrics <- t(apply(ret.gauss, 2, data_metrics))
ret.gauss.metrics
## mean sd min max skewness kurtosis
## EASTEU 0.1663 0.962 -3.50 3.46 -0.193 3
## LATAM 0.1371 1.279 -3.91 3.93 -0.253 3
## CHINA 0.0933 0.734 -2.32 2.36 -0.102 3
## INDIA 0.1819 1.002 -3.35 3.78 -0.193 3
## ENERGY 0.1088 1.006 -3.03 3.18 -0.144 3
## MINING 0.1610 1.109 -3.55 3.34 -0.298 3
## GOLD 0.1241 1.537 -5.15 4.48 -0.123 3
## WATER 0.0704 0.607 -2.17 2.02 -0.157 3
该IGMM算法完全实现了它所要做的：将数据转换为峰度等于。有趣的是，所有时间序列现在都有负偏度，这与大多数金融时间序列文献一致。重要的是要在这里指出，它只是轻微地运作，而不是共同运作（类似于）。3Gaussianize()scale()
简单的二元回归
要考虑高斯化对 OLS 的影响，请考虑从“印度”回报预测“EASTEU”回报，反之亦然。尽管我们正在查看 t}上的之间的同一天回报（没有滞后变量），但考虑到印度和欧洲之间 6 小时以上的时差，它仍然为股市预测提供了价值。rEASTEU,trINDIA,t
layout(matrix(1:2, ncol = 2, byrow = TRUE))
plot(ret[, "INDIA"], ret[, "EASTEU"])
grid()
plot(ret.gauss[, "INDIA"], ret.gauss[, "EASTEU"])
grid()
原始序列的左侧散点图显示，强异常值不是在同一天出现，而是在印度和欧洲的不同时间出现；除此之外，尚不清楚中心的数据云是否支持不相关或负/正依赖。由于异常值强烈影响方差和相关性估计，因此有必要查看移除重尾的依赖关系（右散点图）。在这里，模式更加清晰，印度和东欧市场之间的积极关系变得明显。
# try these models on your own
mod <- lm(EASTEU ~ INDIA * CHINA, data = ret)
mod.robust <- rlm(EASTEU ~ INDIA, data = ret)
mod.gauss <- lm(EASTEU ~ INDIA, data = ret.gauss)
summary(mod)
summary(mod.robust)
summary(mod.gauss)
格兰杰因果关系
基于 模型的格兰杰因果关系检验（我使用来捕捉每日交易的周效应）对于“EASTEU”和“印度”拒绝任一方向的“无格兰杰因果关系”。VAR(5)p=5
library(vars)
mod.vars <- vars::VAR(ret[, c("EASTEU", "INDIA")], p = 5)
causality(mod.vars, "INDIA")$Granger
##
## Granger causality H0: INDIA do not Granger-cause EASTEU
##
## data: VAR object mod.vars
## F-Test = 3, df1 = 5, df2 = 3000, p-value = 0.02
causality(mod.vars, "EASTEU")$Granger
##
## Granger causality H0: EASTEU do not Granger-cause INDIA
##
## data: VAR object mod.vars
## F-Test = 4, df1 = 5, df2 = 3000, p-value = 0.003
但是，对于高斯化数据，答案是不同的！这里的检验不能拒绝“INDIA does not Granger-cause EASTEU”的H0，但仍然拒绝“EASTEU没有Granger-cause INDIA”的H0。因此，高斯化数据支持了欧洲市场在第二天推动印度市场的假设。
mod.vars.gauss <- vars::VAR(ret.gauss[, c("EASTEU", "INDIA")], p = 5)
causality(mod.vars.gauss, "INDIA")$Granger
##
## Granger causality H0: INDIA do not Granger-cause EASTEU
##
## data: VAR object mod.vars.gauss
## F-Test = 0.8, df1 = 5, df2 = 3000, p-value = 0.5
causality(mod.vars.gauss, "EASTEU")$Granger
##
## Granger causality H0: EASTEU do not Granger-cause INDIA
##
## data: VAR object mod.vars.gauss
## F-Test = 2, df1 = 5, df2 = 3000, p-value = 0.06
请注意，我不清楚哪个是正确答案（如果有的话），但这是一个有趣的观察结果。不用说，整个因果关系测试取决于是正确的模型——它很可能不是；但我认为它很适合 illustratiton。VAR(5)