F比率是一个统计量。当没有组差异的原假设为真时，F 比的分子和分母的期望值将相等。因此，当原假设为真时，F 比率的期望值也接近于 1（实际上它并不完全是 1，因为比率的期望值的特性）。

当原假设为假且均值之间存在组差异时，分子的期望值将大于分母。因此，F 比率的预期值将大于零假设下的值，并且也更有可能大于 1。

但是，关键是分子和分母都是随机变量，F比也是。F比率是从分布中得出的。如果我们假设原假设为真，我们会得到一个分布，如果我们假设它是假的，并且对效应大小、样本大小等进行了各种假设，我们就会得到另一个分布。然后我们进行研究并获得 F 值。当原假设为假时，仍有可能得到小于 1 的 F 比。总体效应量越大（结合样本量），F 分布越向右移动，我们得到小于 1 的值的可能性就越小。

以下从G-Power3中提取的图形演示了在各种假设下的想法。红色分布是 H0 为真时 F 的分布。蓝色分布是在各种假设下 H0 为假时 F 的分布。请注意，蓝色分布确实包含小于 1 的值，但它们的可能性很小。

你在标题中的问题是一个有趣的问题，今天我也想到了。我只想添加一个更正。F比率为：

$$\frac{MS_{treatment}}{MS_{residual}}=\frac{\frac{SS_{treatment}}{t-1}}{\frac{SS_{residual}}{t(r-1)}}$$ 你写的是 $$\frac{E(MS_{treatment})}{E(MS_{residual})}$$ 虽然第一个分数可以小于 1，但第二个分数不能小于 1。但这不是问题，因为它是期望的商。

请注意，虽然 F 统计量的值小于 1 可能会在零假设为真（或接近真）时偶然出现，正如其他人所解释的那样，接近 0 的值可能表明违反了 ANOVA 所依赖的假设。一些分析师会将 F 分布中统计数据左侧的区域视为 p 值检查假设违规。导致 F 统计量较小的一些违规行为包括方差不等、随机化不当、缺乏独立性或只是伪造数据。

这里的问题是假设检验涉及零和替代假设，因此；拒绝区域由两个假设决定。

考虑一个更简单的例子。如果您正在调查一个可能具有零平均值但平均值不能小于零的过程，那么您可能有兴趣执行以下测试

$$\begin{equation} \begin{array}{c} H_{0}: \mu = 0 \ H_{1}: \mu > 0 \ \end{array} \nonumber \end{equation}$$

处于阿尔法水平。零假设的拒绝区域在零的右侧。您获得负样本均值并非不可能，尽管概率很小。如果您要在实验中获得负样本均值，您就不会质疑实验的真实性。

现在考虑你的问题。F 统计量的拒绝区域位于右侧的原因是由于单向方差分析中的备择假设。您正在检验以下假设

$$\begin{equation} \begin{array}{c} H_{0}: \sum \tau_{i}^{2} = 0 \ H_{1}: \sum \tau_{i}^{2} \ne 0 \ \end{array} \nonumber \end{equation}$$

原假设指示您使用中心 F 分布，而备择假设在备择假设为真时强制分布向右，这意味着所有 I 类错误概率必须位于右侧。

检验统计量是否可能小于 1？当原假设为真时，肯定是可能的；就像在前面的示例中一样，即使数据的均值为零，检验统计量也可能为负。