您似乎在这里交换了两个不同的概念。这些概念是无偏且一致的，它们是估计器的属性。估计器序列$(T_n)_{n=1}^\infty$据说对于一个数量是无偏的$\theta$如果，对于所有人$n\,\in\mathbb{N}$,

$$E[T_n] = \theta \quad.$$

如果它在概率上收敛，则称它是一致的$\theta$.

这些是不同的概念：第一个是说，对于每个有限的样本量，您的估计量的平均值是$\theta$. 另一种说法是，随着样本量的增加，估计量会任意接近$\theta$随着概率的增加。

让$I = \int_a^bf(x)dx$是您感兴趣的数量（假设它存在）。最基本的蒙特卡洛方法所做的是观察

$$I = \int_a^bf(x)dx = (b-a)\int_a^bf(x)\frac{1}{b-a}dx = (b-a)E[f(X)] \quad.$$

在最后一行，我们把积分写成$f(X)$， 在哪里$X$有一个均匀的分布$(a,b)$. 因此，如果我们对 iid 随机变量进行抽样$(X_i)_{i=1}^n$和$X_1 \sim U((a,b))$，然后估计量

$$T_n = \frac{(b-a)}{n}\sum_{i=1}^nf(X_i) \quad,$$

很容易证明是无偏的$I$.

当您想到黎曼和时，通常会采用确定性分区。如果它是确定性的，那么任何固定样本量的期望值就是它自身的求和值，通常不是积分的值。

任何常数都是任何不同常数的有偏估计量

由于您在这里使用确定性过程，因此您的黎曼和仅取决于$n$，所以它是一个常数序列。将统计偏差的概念应用于常数很简单——任何常数都是任何不同常数的有偏估计量，也是其自身的无偏估计量。所以，例如，$3$是一个有偏估计量$2$, 但它是一个无偏估计量$3$.

您的黎曼和通常会成为相应积分的有偏估计量，因为您正在选择点$t_k^*$确定性地在区间内，因此您的估计量是一个常数。对于黎曼和恰好等于积分的函数（例如，分段线性函数），也有例外。当黎曼和给积分一个不同的值时，它是有偏差的（以同样的方式$3$是一个有偏估计量$2$）。当黎曼和给出与积分相同的值时，它是无偏的（与$3$是一个无偏估计量$3$）。不管黎曼和是否是有偏的估计量，它仍然是一致的估计量，因为它收敛到真积分为$n \rightarrow \infty$; 的确，这就是黎曼积分的本质。

现在，如果您要选择$t$在区间内随机均匀地指向，得到的黎曼和将是积分的无偏估计量。这将是重要性采样估计的一种变体，您可以通过在分区的段内有条件地生成点来改变事物。