该模式有点像红鲱鱼。这是一个非常简单的解决方案，可以避免精确定义模式的需要。我很惊讶它没有更早提出。通过从对称分布中抽取样本并适当地缩放它们，可以很容易地满足对模式的约束：

$$(x_i,y_i,z_i)\sim\mathrm{i.i.d.}\;\mathcal{L}(\mu,\sigma)$$ $$(x_i^*,y_i^*,z_i^*)=\left(\frac{x_i}{x_i+y_i+z_i},\frac{y_i}{x_i+y_i+z_i},\frac{z_i}{x_i+y_i+z_i}\right)$$

在哪里$\mathcal{L}(\mu,\sigma)$是一个对称分布（因此均值、众数和中位数相同）并且被选择为使得低于 0 的概率质量为 0。例如，选择$\mathcal{L}(\mu,\sigma)$成为$\mathrm{Beta}(2,2)$：

a1 <- matrix(rbeta(100*3,2,2), nc=3)
a1 <- sweep(a1, 1, rowSums(a1), FUN="/")
colMeans(a1)
# [1] 0.3342165 0.3341534 0.3316301

产生所需的解决方案

sum(colMeans(a1))
# [1] 1

如果 X1、X2 和 X3 是 iid Gamma(a)，则 {X1,X2,X3}/(X1+X2+X3) 将是 Dirichlet(a,a,a)。

如果 a>1，则模式将为 1/3。对于较大的 a 值，峰值将更加尖锐。

这是一个近似的数字答案。它可以很容易地变得更精确。
让$\{U,V,W\} = {X,Y,Z}/(X+Y+Z)$， 在哪里$X,Y,Z$是具有梯形密度的独立同分布$[0,1]$：

$f(x)=1+a-2ax.$ $U,V,W$将具有相同的边际。
给定一个数字“a”，我使用 Mathematica 来获取 cdf$U$：

F[u_] = Assuming[0 < u < 1, Simplify@Integrate[  
Boole[x < u(x+y+z)] f[x] f[y] f[z], {x,0,1},{y,0,1},{z,0,1}]

区分$F$两次，将结果设置为零，并求解得到的 7 次多项式给出模式。我使用二进制搜索来细化“a”的值。我一直使用精确的算术，直到求解多项式。

  a      mode

  1    .318182  
 7/8   .322065  
13/16  .327099  
25/32  .330465  
49/64  .332373  
97/128 .333376 <-- close enough?  
 3/4   .334221  
 1/2   .353738  
  0    .359187

分析：给定一个联合pdf$X$,$Y$， 和$Z$ $f_{X,Y,Z}(x,y,z)$，如果他们是独立同分布的，那么$f_{X,Y,Z}(x,y,z)=f_X(x)f_Y(y)f_Z(z)$， 在哪里$f_X(x)=f_Y(y)=f_Z(z)$. 你必须找到pdf

$$f_{X,Y,Z}\left(\dfrac{x}{x+y+z}\right)$$ 微分后等于零，你会找到你的模式。显然，模式将取决于$f_{X,Y,Z}(x,y,z)$因此在$f_X(x)$,$f_Y(y)$和$f_Z(z)$.

数值：从您的首选分布中抽取三个随机数，将它们标准化并将它们保存在$i^{th}$- 行一个 Nx3 矩阵。重复此过程 N 次并绘制每列的频率。

解析解是首选，而不是试图从 R 中的随机样本中证明它，这只是一个数值近似。