想象一场选举，其中个人做出二元选择：他们投票支持或反对 A。结果是人投票给 A，因此 A 的结果是。$n$$m$$p=m/n$

如果我想对这些选举进行建模，我可以假设每个人以概率独立投票给 A ，从而导致选票的二项式分布：该分布具有均值和方差。$p$

我也可以做出其他假设。例如，我可以假设概率本身是来自某个分布（例如 beta）的随机变量；这可能导致 A 的选票出现 beta 二项式分布。或者我可以假设人们以 k 为一组进行投票其中每组人做出相同的选择，并且 A 的概率为。这将导致方差较大的二项分布。在所有这些情况下，所得分布的方差都大于最简单的二项式方案。$p$$k$$k$$p$

我可以声称二项式分布的方差最小吗？换句话说，这种说法能否以某种方式变得精确，例如通过在可能的分布上指定一些合理的条件？这些条件会是什么？

还是可能存在一些方差较低的合理分布？

我可以想象更低的方差，例如，当所有人事先就他们将如何投票达成一致时，因此并不是真正的随机变量，而是一个固定数字。那么方差为零。或者也许几乎所有人都同意，但少数人不同意，然后一个人可能在附近有微小的差异。但这感觉像是在作弊。在没有任何预先安排的情况下，即当每个人在某种意义上随机投票时，是否可以有小于二项式的方差？$n$$\text{votes for A}$$m$$m$