您应该考虑$\epsilon_t$创新而不是残差。在 MA 案例中，您对最近的创新进行平均，而在 AR 案例中，您对最近的观察进行平均。即使模型是固定的并且没有确定性项，创新和观察结果也是不同的。例如，假设 $\epsilon_t$是 iid。那么，在 MA(1) 的情况下，$x_t$和$x_{t-1}$之间的协方差仍然是正的！但是，$x_t$和$x_{t-2}$之间的协方差仍然为零。另一方面，在 AR(1) 的情况下，所有自相关都是非零的，但呈指数衰减。

我未能意识到的一个关键区别：的 MA 模型预测在其计算中包括而 AR 模型仅基于进行预测，而没有（显式）考虑预测是否在时低估或高估了。充实@user1587692 强调的内容，MA 模型在创新中平均（，即 MA 模型未能捕捉到的“新奇”，即使它的 lag(1) 组件）。另一方面，AR 模型平均先前的观察值（残差，即当$x_t$$\epsilon_{t-1}$$x_{t-1}$$t-1$$x_{t-1}$$\epsilon$$x$$\mu = 0$) 没有拆分时间序列部分和创新部分。

为了让这个超级清楚，我用、和制作了一个小数据集（后者仅用于 MA(2) 和 AR(2)）。在这里，被称为“观察到的”，而被称为“MA(1) 错误”。黄色单元格是“助手”，输入以使预测适用于观察。$\mu = 0$$\beta_1 = 0.5$$\beta_2 = 0.2$$x$$\epsilon$$x_1$

对我来说，这也给出了一个更好的直觉，为什么：

1. 返回到之间的协方差为正且更靠后为零。这是由于 iid 残差（在非 iid 自相关之上的创新）在平均窗口内有所贡献，但根据白噪声的定义，没有关于的信息。$x_t$$x_{t-order}$$x_t$

2. AR 模型具有（正或负）自相关更靠后。这只是时间序列自相关（被顶部的 iid 创新抑制）。

3. 为什么 AR 和 MA 可以被视为彼此的重新参数化。在任一模型中都不会添加或删除任何信息。但是，您不能在任何特定时间将一个转换为另一个（，上表中的列） - 您需要进一步回顾以进行估计。这就是为什么您需要高阶 AR 来估计低阶 MA。如果不能直接建模，估计需要很多$t$$x$$\epsilon$

4. 建模（条件化），则需要高阶 MA 来估计低阶 AR 。$x$

有限 AR 模型可以表示为 MA 模型，反之亦然，如果一个 ar(1) 模型的系数为 .333333333，则模型（几乎）相同。

考虑系数为 0.3 的 ar(1) 的情况

x(t)=ϵ(t)+.3*x(t−1)

因为 x(t-1)=e(t-1)+.3*x(t-2) 我们可以替换 x(t-1) 并得到

x(t)=ϵ(t)+.3* [ e(t-1) + .3*x(t-2) ]

x(t)=ϵ(t)+.3*e(t-1) + .09*x(t-2)

和

x(t)=ε(t)+.3*e(t-1) + .09*e(t-2) + .027*x(t-3) ]

等等 。

选择 ar 模型与 ma 模型的“原因”仅仅是为了简约。

当 q=1 和 B1=.333333333 和 q>1 的其他情况时，它们是相同的

希望这可以帮助 ....