在这两种情况下，概率度量是相同的，但两者之间感兴趣的问题是不同的。在这两种情况下，我们在单个概率空间上定义了一个（可数）无限的随机变量序列。我们将、和视为每种情况下的无限乘积（这里需要注意的是，我们只讨论概率测度，否则我们可能会遇到麻烦）。$(\Omega,\mathscr{F},P)$$\Omega$$\mathscr{F}$$P$

对于 SLLN，我们关心的是缩放部分和不收敛SLLN 说，这组测量值为零（wrt$\omega = (\omega_{1},\omega_{2},\ldots)$$P$

对于 WLLN，我们关心的是投影测量序列的行为，其中对于每个，是投影到有限的可测量空间。WLLN 表示，缩放的部分和不收敛的圆柱体（即涉及走向无穷大。$\left(P_{n}\right)_{n=1}^{\infty}$$n$$P_{n}$$P$$\Omega_{n} = \prod_{i=1}^{n} \Omega_{i}$$X_{1},\ldots,X_{n}$$n$

在 WLLN 中，我们正在计算似乎从无限乘积空间中移除的概率，但它实际上从未消失——它一直都存在。我们所做的只是投影到从 1 到的子空间，然后再取极限。这样的事情是可能的，有可能在无限的乘积空间上构建一个概率度量，使得每个的投影与我们认为它们应该做的相匹配，并且做他们应该做的事情，这是结果之一Kolmogorov的扩展定理。$n$$n$

如果您想阅读更多内容，我在 Doleans-Dade 的 Ash 的“概率与测度理论”中找到了对这些微妙点的最详细讨论。还有其他几个，但 Ash/DD 是我最喜欢的。