如果和是零均值独立正态随机变量，方差和，则和是零均值联合正态变量，其中和使得相关系数为 。给定的条件分布$X$$Y$ $\sigma_X^2$$\sigma_Y^2$$X$$X+Y = Z$$\sigma_Z^2 = \sigma_X^2 + \sigma_Y^2$$\text{cov}(X, Z) = \text{cov}(X,X+Y) = E[X^2] + E[XY] = \sigma_X^2$

$$\rho_{X,Z} = \frac{\sigma_X^2}{\sigma_X\sqrt{\sigma_X^2 + \sigma_Y^2}} = \frac{\sigma_X}{\sqrt{\sigma_X^2 + \sigma_Y^2}}$$ $X$$Z = z$ 是正常的，并且由于所涉及的变量的均值均为零，因此条件均值简化为
$$z\cdot \rho_{X,Z}\frac{\sigma_X}{\sigma_Z} = z\cdot \frac{\sigma_X^2}{\sigma_X^2 + \sigma_Y^2}$$

它就像线性模型（取），但是你在上而不是上$Z = X + \epsilon$$\epsilon \equiv Y$$X$$Z$$Z$$X$

在上的回归斜率为，并且，而 .$X$$Z$$\text{cor}(X,Z) \sigma_X / \sigma_Z$$\sigma^2_Z = \sigma^2_X + \sigma^2_Y$$\text{cor}(X,Z) = \text{cov}(X,Z)/[\sigma_X \sigma_Z] = \sigma_X^2/[\sigma_X \sigma_Z] = \sigma_X / \sqrt{\sigma_X^2+\sigma_Y^2}$

因此我得到斜率为$\sigma_X^2/(\sigma_X^2+\sigma_Y^2)$

所以，和你一样，只要sigmaX和sigmaY被解释为差异。