每个对称正（半）定矩阵可以被分解为$d\times d$$\Sigma$

其中是一个正交矩阵，是一个对角矩阵，其中包含非负（正）项 （始终是某个变量分布将是其相关矩阵；是边际分布的标准差。）$Q$$\Lambda$$\lambda_1, \ldots, \lambda_d.$$\Sigma$ $d$$QQ^\prime$$\lambda_i$

让我们解释一下这个公式。 (项是和列的点积乘以 因此，上的零约束列的点积的正交约束。$(i,j)$$\Sigma_{i,j}$$i$$j$$Q$$\lambda_i\lambda_j.$$\Sigma$$Q.$

（请注意，正定矩阵的所有对角线条目都必须是非零的，所以我假设零约束都在对角线之外。我还将条目入口，以确保结果的对称性。）$(i,j)$$(j,i)$

施加这种约束的一种（完全通用的）方法是按顺序生成$Q$ 使用您喜欢的任何方法来创建初始值的矩阵。在步骤更改的所有需要​​与其正交的列上对其进行回归并保留残差。将这些结果归一化，使它们的点积（平方和）一致。即列。$d\times d$$i=1,2,\ldots, d,$$i$$1, 2, \ldots, i-1$$Q$$i$$Q.$

创建以任何您喜欢的方式随机生成的对角线（如在https://stats.stackexchange.com/a/215647/919密切相关的答案中所讨论的）。$Q,$$\Lambda$

以下R函数默认rQ使用iid标准正态变量作为初始值。我已经用维度到系统地检查了预期的约束是否成立。我还用 Poisson变量对其进行了测试，因为它们很可能是零，所以会产生非常有问题的初始解决方案。$d=1$$200,$$(0.1)$

的主要输入rQ是一个逻辑矩阵，指示要在何处应用零约束。这是问题中指定的约束的示例。

set.seed(17)
Q <- matrix(c(FALSE, TRUE, TRUE, FALSE,
              TRUE, FALSE, FALSE, FALSE,
              TRUE, FALSE, FALSE, FALSE,
              FALSE, FALSE, FALSE, FALSE), 4)
Lambda <- rexp(4)
zapsmall(rQ(Q, Lambda))

         [,1]      [,2]      [,3]      [,4]
[1,] 2.646156  0.000000  0.000000  2.249189
[2,] 0.000000  0.079933  0.014089 -0.360013
[3,] 0.000000  0.014089  0.006021 -0.055590
[4,] 2.249189 -0.360013 -0.055590  4.167296

的对角线作为第二个参数传递给. 它的第三个参数必须是一个随机数生成器（或任何其他返回长度为 的数值向量的函数）。$\Lambda$rQff(n)n

rQ <- function(Q, Lambda, f=rnorm) {
  normalize <- function(x) {
    v <- zapsmall(c(1, sqrt(sum(x * x))))[2]
    if (v == 0) v <- 1
    x / v
  }
  Q <- Q | t(Q)                    # Force symmetry by applying all constraints
  d <- nrow(Q) 
  if (missing(Lambda)) Lambda <- rep(1, d)
  R <- matrix(f(d^2), d, d)        # An array of column vectors
  for (i in seq_len(d)) {
    j <- which(Q[seq_len(i-1), i]) # Indices of the preceding orthogonal vectors
    R[, i] <- normalize(residuals(.lm.fit(R[, j, drop=FALSE], R[, i])))
  }
  R <- R %*% diag(Lambda)
  crossprod(R)
}

我不确定这是否是您想要的，但是对于您给出的具体示例（这不一定很容易概括为任意零约束，因为代数可能会变得混乱！）

• 如果是对角线上具有正值的下三角矩阵，则是正定的（要求对角线为正对于正定来说不是必需的，但会使分解独一无二：参见 Pinheiro 和 Bates 1996 “方差-协方差矩阵的无约束参数化”）。$L$$\Omega = L L^\top$
• $\Omega_{12} = L_{11} L_{21}$和。因此，我认为在不进一步丧失一般性的情况下，具有正对角线且的下三角矩阵将为您提供所需的约束模式。（设置会给你一个奇异矩阵。）$\Omega_{13} = L_{11} L_{31}$$L_{21} = L_{31} = 0$$L_{11}=0$
• “随机”非常模糊。（你没有说“统一”......）我们可以例如选择，（对于和不等于或）。$\theta_{ii} \sim U(0,20)$$\theta_{ij} \sim U(-10,10)$$i \neq j$$\{i,j\}$$\{2,1\}$$\{3,1\}$

set.seed(101)
m <- matrix(0, 4, 4)
diag(m) <- runif(4, max=20)
m[lower.tri(m)] <- runif(6, min=-10, max=10)
m[2,1] <- m[3,1] <- 0
S <- m %*% t(m)
S
         [,1]       [,2]       [,3]       [,4]
[1,] 55.41265  0.0000000   0.000000  12.634888
[2,]  0.00000  0.7682458  -2.919309   2.138861
[3,]  0.00000 -2.9193087 212.553839   4.881917
[4,] 12.63489  2.1388607   4.881917 182.698471

eigen(S)$values

[1] 213.387898 183.174454  54.170033   0.700823

首先，生成随机对称矩阵。其次，应用ledoit wolf正则化使其成为SPD。