Raju 等人 (1997) 注意到

Pedhazur (1982) 和 Mitchell & Klimoski (1986) 认为，
当 N 至少为中等大小（大约 50）时，结果相对不受所选模型 [fixed-x 或 random-x] 的影响。

尽管如此，Raju 等人 (1997) 将一些调整后的$R^2$估计公式$\rho^2$作为“固定 X 公式”和“随机 X 公式”。

固定 X 公式： 提到了几个公式，包括 Ezekiel (1930) 提出的公式，这是大多数统计软件的标准：

$$\hat{\rho}_{(E)}^2 = 1 - \frac{N-1}{N-p-1}(1-R^2)$$

因此，这个问题的简短答案是标准调整$R^2$通常报告并内置于标准统计软件中的公式是对固定 x 的估计$\rho^2$.

随机 X 公式：

Olkin 和 Pratt (1958) 提出了一个公式

$$\hat{ \rho}^2 _{(OP)} = 1 - \left[ {\frac{{N - 3}}{{N - p - 1}}} \right](1 - {R^2})F\left[ {1,1;\frac{{N - p + 1}}{2};(1 - {R^2})} \right]$$ 其中 F 是超几何函数。

Raju 等人 (1997) 解释了各种其他公式，例如 Pratt 和 Herzberg 的“是预期超几何函数的近似值”。例如，普拉特的公式是

$${\hat \rho}^2_{(P)} = 1 - \frac{{(N - 3)(1 - {R^2})}}{{N - p - 1}}\left[ {1 + \frac{{2(1 - {R^2})}}{{N - p - 2.3}}} \right]$$

估计有何不同？ Leach 和 Hansen (2003) 的报告提供了一个很好的表格，显示了不同公式对不同已发表的心理学数据集样本的影响（见表 3）。平均的以西结$R^2_{adj}$与 Olkin 和 Pratt 相比是 0.2864$R^2_{adj}$.2917 和普拉特$R^2_{adj}$0.2910。根据 Raju 等人关于固定和随机 x 公式与小样本量最相关的区别的初始引用，Leach 和 Hansen 的表格显示了 Ezekiel 的固定 x 公式与 Olkin 和 Pratt 的随机 x 公式之间的差异是如何最突出的在小样本中，尤其是那些小于 50 的样本。

参考

• Leach, LF 和 Henson, RK (2003)。调整后的 R2 效应在已发表的回归研究中的使用和影响。在德克萨斯州圣安东尼奥市西南教育研究协会年会上。PDF格式
• Mitchell, TW 和 Klimoski, RJ (1986)。估计交叉有效性估计的有效性。应用心理学杂志，71，311-317。
• 佩达祖尔，EJ (1982)。行为研究中的多重回归（第 2 版）纽约：Holt、Rinehart 和 Winston。
• Raju, NS, Bilgic, R., Edwards, JE, & Fleer, PF (1997)。方法审查：估计总体有效性和交叉有效性，以及在预测中使用相等的权重。应用心理测量，21（4），291-305。