在 Kevin Murphy 的“机器学习：概率视角”第 3.2 章中，作者通过一个名为“数字游戏”的示例演示了贝叶斯概念学习：$N$样品来自$\{1,...,100\}$，我们要选择一个假设$h$这最好地描述了生成样本的规则。例如“偶数”或“素数”。

最大后验和最大似然估计定义为：

$$\hat h_\mathrm{MAP}={\arg\max}_h\ p(\mathcal{D}|h)p(h)={\arg\max}_h[\log p(\mathcal{D}|h)+\log p(h)],$$

$$\hat h_\mathrm{MLE}={\arg\max}_h\ p(\mathcal{D}|h)={\arg\max}_h\log p(\mathcal{D}|h),$$

其中表示各种假设的先验概率，后验概率定义为：$p(h)$

$$p(\mathcal{D}|h)=\Bigg[\frac{1}{|h|}\Bigg]^N,$$

当且仅当，即假设的替换均匀抽样产生集合的可能性有多大。直观地说，这意味着“最小”假设的后验率最高。例如，假设“2 的幂”比“偶数”更能$\mathcal{D}\subset h$$h$$\mathcal{D}$$\{2,4,8,16,64\}$

这一切都很清楚。但是，我对以下句子感到困惑（尽管直觉上它很有意义）：

由于似然项以指数方式依赖于，并且先验保持不变，因此随着我们获得越来越多的数据，MAP 估计会向最大似然估计收敛。$N$

确实，似然性以指数方式取决于，但是，幂数在区间中，并且作为，，所以可能性实际上应该消失。$N$$(0,1)$$N \to \infty$$x^N \to 0$

为什么在这种情况下 MAP 会收敛到 MLE？