我一直在试图理解考克斯定理和围绕它的问题。关于这个主题的信息太多了，以至于我对定理的确切状态感到困惑。我收集了三个主要问题，但由于它们涵盖了广泛的主题，我将其拆分为多个问题。我希望这已经足够缩小（原始问题）。

我的主要参考资料是K. Van Horn，A Guide to Cox's Theorem，2003 年和A. Terenin & D. Draper，Rigorizing and Extending the Cox-Jaynes Derivation of Probability，2015 年。

然后事不宜迟：

Halpern (A Counterexample to Theorems of Cox and Fine, 1999; Revisiting Cox's Theorem, 1999)声称已经构建了 Cox's Theorem 的反例。斯诺（The Reasonableness of Possibility from the Perspective of Cox, 2001）不同意，说 Cox 隐含地做了一个否定反例的假设。Paris (The Uncertain Reasoner's Companion, 1994)似乎形式化了这个假设，但结果是 Cox-Jaynes 概率函数不能有有限域。

Halpern 认为这是有问题的，因为假设一个无限的命题空间可能并不自然。斯诺和范霍恩对哈尔彭的反对各有各的论据。Van Horn (A Guide to Cox's Theorem, 2003, p.12-13)评论说，即使我们将自己限制在有限数量的命题上$(A|B)$，如果我们不将自己限制在该域的有限数量的信息状态中，仍然可以有无限数量的合理性值。Snow （关于有限域 Cox 定理的正确性和合理性，1998 年，第 4 节）给出了需要无限域才能给出合理答案的情况的示例。

Terenin & Draper (Rigorizing and Extending the Cox-Jaynes Derivation of Probability, 2015, p.8)声称 Van Horn 的方法难以正式评估，因为它缺乏严谨性。然而，他们确实指出：

Jaynes (2003) 对描述世界的本体论信息表达（例如，“房间里有噪音”）和认识论信息表达（例如，“房间嘈杂”）进行了重要区分描述您关于世界的信息。假设有限数量的世界状态（本体论）并不矛盾，这在某些问题中肯定是正确的，并使用无数个命题来描述你对这些世界状态的不确定性（认识论）；后者是我们（和许多其他贝叶斯统计学家）的建模选择，并且非常有用。

如果我正确地解释了一切，这似乎在精神上同意范霍恩。

尽管 Jaynes (2003) 指出：

值得注意的是，我们的一致性定理仅针对分配给有限命题集的概率建立。原则上，每个问题都必须从这样的有限集概率开始；仅当这是从有限集定义良好且行为良好的限制过程的结果时，才允许扩展到 [可数] 无限集。

我不确定这是否与 Snow 相矛盾，但至少再次质疑无限域的自然性。

S. Arnborg 和 G. Sjödin （有限模型中的贝叶斯规则，2000 年）表明，Paris 的假设对于证明该定理是不必要的。他们用较弱的假设代替了他的假设，并证明了有限域的 Cox 定理。然而，他们的方法不适用于无限域，考虑到斯诺声称域的无限是自然的，这似乎有些问题。

最后，Terenin 和 Draper 声称将 Cox-Jaynes 形式化为不可数无限域（2015 年，第 7 页），尽管我不确定这是否意味着无限的命题，或者仅仅是无限的合理性（在范霍恩的信息状态意义上， Jaynes 的认识论意义和/或 Snow 的合理结果意义）。

简而言之，这里似乎存在很多分歧。可能是我误解了陈述，所以我希望有更多知识的人来确认。

总之：

1. 对于 Cox-Jaynes 方法中域的有限/（不可）可数无限性是否存在共识？

2. 如果不是，具体的问题是什么？