机器算法验证 - 均值或中值的名称？ - 吾爱随笔录

均值或中值的名称？

机器算法验证估计意思是中位数

2022-03-17 05:58:44

考虑数据点 $x_i \in \mathbb R$ 为了 $i=1,\ldots,n$ 以及以下定义：

{\hat{x}}_{c} := \underset{r \in R}{argmin} \sum_{i} | r - x_{i} |^{c}

$\hat x_c := \underset{{r\in \mathbb R}}{\operatorname{argmin}}\sum_i \vert r - x_i \vert^c$

这个定义包括中位数 $c=1$ 以及平均值_ $c=2$ .

这种一般的均值/中值/估计量有名称吗？

下图显示了一些数据的示例和 $\hat x_c$ 对于不同的值 $c$ . 红线显示的值 $\hat x_c$ （横轴）取决于的值 $c$ （红色垂直轴）。

你可以观察到 $c\to \infty$ 的价值 $\hat x_c$ 会越来越受到异常值的影响，收敛到中档 $\frac{\min x_i + \max x_i }{2}$ . （当您将其与范数的行为进行比较时，直觉上是有意义的。）您还可以通过替换绝对值将这个简单的）一个合适的规范。 $p$ $x_i \in \mathbb R^d$ $\vert \cdot \vert$ $\Vert \cdot \Vert$

3个回答

这只是 $c \in (0,1]$ 的部分答案：

Fréchet 均值的形式为

Ψ (x) = {argmin}_{r} \sum_{i} d (r, x_{i})

$\Psi(x) = \operatorname{argmin}_r \sum_i d(r, x_i)$

其中 $(M,d)$ 是度量空间， $x \in M^k$ 和 $d$ 是度量。在我们的例子中

d (x, y) = | x - y |^{c}

$d(x, y) = | x - y |^c$

确实是 $M = \mathbb R$ 上的度量，但仅适用于 $c \in (0,1]$ 。在这种情况下，我们确实可以将其称为具有给定度量的Fréchet 均值。 $d$

术语“ ”（即，L1、L2、...，其中文献中的是您的）有时用于指代此类估计器。https://iopscience.iop.org/article/10.1088/0026-1394/43/3/004 $L_p$ $p$ $c$

然而，我几乎没有看到这个术语用于一维位置的估计，更多地用于回归（其中一维位置是一个特例）。

更一般地，M-估计量由. $\sum_{i=1}^n \rho(x_i,\theta)=\min!$

藤泽的一篇相当古老的论文（1917 年）代数手段将它们称为幂手段，尽管您必须取 th 根才能得到它。他的文章还讨论了相关的代数均值。 $c$

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